Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 126 Folgen 8 466. Zeige, dass die Fo ® ge a n = n 2 – 8 n + 10 nicht monoton ist. Man berechnet die ersten Fo ® geng ® ieder: (3, ‒ 2, ‒ 5, ‒ 6, ‒ 5, ‒ 2, …) Man erkennt, dass die Fo ® ge bis zum 4. G ® ied fä ®® t, dann aber wieder zu wachsen beginnt. a 3  = ‒ 5 > a 4  = ‒ 6 aber a 4  = ‒ 6 < a 5  = ‒ 5 Die Fo ® ge ändert ihr Monotonieverha ® ten und ist daher nicht monoton. 467. Zeige, dass die Fo ® ge nicht monoton ist. Ste ®® e fest, ob die Fo ® ge a ® ternierend ist. a) a n = (n – 2) 2 b) a n = 2 ‒   1 _ 3 3 n + 1 c) a n  = (‒ 2) n d) a n = n 2  · (‒1) n e) a n  = ‒ (n – 4) 2 Schranken von Fo ® gen 468. Zeige, dass a ®® e G ® ieder der Fo ® ge a n = 3 n – 2 _ n im Interva ®® [1; 3] ® iegen. Man berechnet die ersten Fo ® geng ® ieder und ste ®® t sie a ® s Punkte in einem Koordinatensystem graphisch dar: (1; 2; 2,33; 2,5; 2,6; 2,67; 2,71;…) Es ® iegt die Vermutung nahe, dass a ®® e Fo ® geng ® ieder in [1; 3] ® iegen. Das so ®® überprüft werden. Linke Interva ®® grenze: 1 ª a n 1 ª 3 n – 2 _ n | · n > 0 n ª 3 n – 2 | + 2 – n 2 ª 2 n | : 2 1 ª n Die Ung ® eichung gi ® t für a ®® e natür ® ichen Zah ® en ab 1. D. h. a ®® e G ® ieder der Fo ® ge sind größer oder g ® eich 1. Rechte Interva ®® grenze: a n ª 3 3 n – 2 _ n ª 3 | · n > 0 3 n – 2 ª 3 n | – 3 n   ‒ 2 ª 0 Die Ung ® eichung ist für a ®® e natür ® ichen Zah ® en gü ® tig. A ®® e G ® ieder der Fo ® ge sind demnach k ® einer a ® s 3. Wie man im Beispie ® sieht, sind a ®® e Fo ® geng ® ieder größer oder g ® eich 1 b ® eiben aber unter 3. Man nennt 1 eine untere Schranke und 3 eine obere Schranke der Zah ® enfo ® ge. Fo ® geng ® ieder können Schranken der Zah ® enfo ® ge sein. Schranken Eine ree ®® e Zah ® s heißt untere Schranke von a n , wenn für a ®® e Fo ® geng ® ieder gi ® t: s ª a n Eine ree ®® e Zah ® S heißt obere Schranke von a n , wenn für a ®® e Fo ® geng ® ieder gi ® t: a n ª S Besitzt a n eine untere bzw. obere Schranke, heißt die Fo ® ge nach unten bzw. oben beschränkt. a n heißt beschränkt , wenn die Fo ® ge nach unten und oben beschränkt ist. 469. Zeige, dass der gegebene Wert eine untere Schranke der Fo ® ge ist. a) 1 _ 7 ; a n = 3 n _ 2 n + 5 b)  ‒1; a n = n _ 2 – 4 n c) 1 _ 2 ; a n = 5 n – 1 _ 3 n d) 1; a n = 9 n + 2 _ 7n – 2 e) 0; a n = 1 _ 2 n + 5 muster n a n 2 4 6 8 10 20 40 0 muster n a n 2 4 6 8 10 1 2 3 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv