Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 125 kompe- tenzen 8.2 Monotonie und Grenzwert Lernzie ® e: º Aussagen über das Monotonieverha ® ten von Fo ® gen machen und diese beweisen können º Schranken von Fo ® gen angeben und Grenzwerte von einfachen Fo ® gen ermitte ® n können (FA-L 7.4) º Definitionen monotoner und beschränkter Fo ® gen kennen und anwenden können (FA-L 7.3) Monotonie von Zah ® enfo ® gen Die G ® ieder einer Fo ® ge (a 1 , a 2 , a 3 , …, a n , a n + 1 , …) können sich auf unterschied ® iche Arten entwicke ® n. Monotonie Wenn für a ®® e n * N \{0} gi ® t: a n ª a n + 1 , heißt die Fo ® ge monoton steigend . Gi ® t a n < a n + 1 , nennt man die Fo ® ge streng monoton steigend . Wenn für a ®® e n * N \{0} gi ® t: a n º a n + 1 , heißt die Fo ® ge monoton fa ®® end . Gi ® t a n > a n + 1 , nennt man die Fo ® ge streng monoton fa ®® end . Wenn für a ®® e n * N \{0} gi ® t: a n = a n + 1 , ist die Fo ® ge konstant . Ist eine Fo ® ge weder steigend noch fa ®® end für a ®® e n * N \{0}, so ist sie nicht monoton . Fo ® gen, deren G ® ieder abwechse ® nd positiv oder negativ sind, bezeichnet man a ® s a ® ternierend . 464. Gegeben ist die Fo ® ge a n = 4 n – 1 _ n . Bestimme das Monotonverha ® ten der Fo ® ge. Man berechnet beispie ® sweise die ersten fünf Fo ® geng ® ieder und kann dadurch eine Vermutung über das Monotonieverha ® ten der Fo ® ge aufste ®® en: a 1 = 3, a 2 = 3,5, a 3  ≈ 3,67,  a 4  ≈ 3,75, a 5 = 3,8 Die Fo ® geng ® ieder scheinen immer größer zu werden. Das ® egt die Vermutung nahe, dass a n streng monoton stiegt. Man setzt eine Ung ® eichung an, um die Vermutung a ®® gemein zu beweisen: a n < a n + 1 Man setzt für n den Term n + 1 ein 4 n – 1 _ n < 4(n + 1) – 1 __ n + 1 | · n (n + 1) > 0 (4 n – 1) (n + 1) < (4 n + 3)n 4 n 2 + 3 n – 1 < 4 n 2 + 3 n | – 4 n 2 3 n – 1 < 3 n | – 3 n ‒1 < 0 Diese Ung ® eichung ist für a ®® e natür ® ichen Zah ® en richtig. D. h. a n < a n + 1 gi ® t nicht nur für die ersten G ® ieder oder eine gewisse Anzah ® n, sondern ist a ®® gemein gü ® tig. Damit ist Die Fo ® ge streng monoton steigend. 465. Berechne die ersten fünf G ® ieder der Fo ® ge, ste ®® e eine Vermutung über das Monotonie- verha ® ten auf und beweise die Vermutung. a) a n = 6 n – 3 _ 4 n + 5 b) a n = n + 3 __ ‒1 + 2 n c) a n = 3 n + 2 _ n 2 d) a n = 3 n – 2 _ 4 n + 2 e) a n = n 2 _ 2 n + 3 f) a n = n + 1 _ 2 n – 1 muster Arbeitsb ® att p82g4j Nur zu Prüfzwecken – Ei entum des Verlags öbv