Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

110 kompe- tenzen 7.3 Harmonische Schwingungen Lernzie ® e: º Funktionen der Form f(x) = a · sin(b · (x + c)) darste ®® en und ab ® esen können º Die Begriffe Frequenz, Amp ® itude und Phasenverschiebungszeit kennen und anwenden können º Die Funktionsg ® eichung einer harmonischen Schwingung aufste ®® en und ab ® esen können º Beziehungen zwischen Sinus und Cosinus kennen und anwenden können Grundkompetenzen für die schrift ® iche Reifeprüfung: FA-R 6.1 Graphisch oder durch eine G ® eichung (Forme ® ) gegebene Zusammenhänge der Art f(x) = a · sin(b · x) a ® s a ®® gemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darste ®® ungsformen wechse ® n können FA-R 6.3 Die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können FA-R 6.4 Periodizität a ® s charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können FA-R 6.5 Wissen, dass cos(x) = sin 2 x + π _ 2 3 A ®® gemeine Sinusfunktionen der Form f(x) = a · sin(b · (x + c)) Die Sinusfunktion f mit f(x) = sin(x) wurde bereits in 7.2 genauer behande ® t. Diese Funktion ist periodisch mit k ® einster Periode 2 π . Man sagt auch: „Der Graph von f schwingt im Interva ®® [0; 2 π] genau einma ® .“ 408. Verwende zur Lösung dieser Aufgabe Techno ® ogie. a) Zeichne die Graphen der Funktionen f, g, h und i  f(x) = sin(x)   g(x) = 2 · sin(x)   h(x) = sin(2 · x)   i(x) = ‒ sin(x) b) Erk ® äre, we ® che Zusammenhänge zwischen den Graphen der Funktionen von f, g, h und i erkennbar sind. Wie oft schwingt der Graph von g, h und i im Interva ®® [0; 2 π] ? Funktionen der Form f(x) = a · sin(bx) Funktionen der Form f(x) = a · sin(x) f(x) = sin(bx) 0 – π –2 π π –2 3 π –2 π 2 π π – –2 3 π – –2 1 2 3 –1 –2 –3 –4 y x f 1 (x) = 0,5 sin(x) h(x) = sin(x) f 2 (x) = 3 sin(x) 0 – π –2 π –3 π –4 π π 2 π 3 π 4 π 1 2 3 –1 –2 –3 –4 y x f 1 (x) = sin(0,5 x) h(x) = sin(x) f 2 (x) = sin(3 x) Verg ® eicht man die Graphen der Funktionen f mit f(x) = a · sin(x) (a * R \ {0}) und h mit h(x) = sin(x), erkennt man: Die Anzah ® der Schwingungen im Interva ®® [0; 2 π] b ® eibt g ® eich. Verg ® eicht man die Graphen der Funktionen f mit f(x) = sin(b x) (b * R + ) und h mit h(x) = sin(x), erkennt man: Der Parameter b gibt die Anzah ® der Schwin- gungen im Interva ®® [0; 2 π] an. Ist a > 1, dann wird der Graph von h mit h(x) = sin(x) ent ® ang der y-Achse gestreckt. Ist 0 < a < 1, dann wird er ent ® ang der y-Achse gestaucht. Ist a negativ, dann wird der Graph der Funktion r mit r(x) = |a| · sin(x) ent ® ang der x-Achse gespiege ® t. Ist b > 1, dann wird der Graph von h mit h(x) = sin(x) ent ® ang der x-Achse mit dem Faktor 1 _ b gestaucht. Ist 0 < b < 1, dann wird er ent ® ang der x-Achse mit dem Faktor 1 _ b gestreckt. 0 π –2 3 π –2 π 2 π f schwingt in [0; 2 π ] genau einmal 1 –1 f(x) f x Techno ® ogie Darste ®® ung 96u2zq Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv