Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 108 Winkelfunktionen 7 Die Winke ® funktionen Sinusfunktion f: R ¥  [‒1; 1]    f(x) = sin(x) k ® einste Periode: 2 π Cosinusfunktion: f: R ¥  [‒1; 1]    f(x) = cos(x) k ® einste Periode: 2 π Tangensfunktion : f: R \ { ± π _ 2 ; ± 3 π _ 2 ; ± 5 π _ 2 ; … } ¥ R f(x) = tan(x) k ® einste Periode: π 400. Gib die Definitionsmenge, die Wertemenge, die Nu ®® ste ®® en und Extremste ®® en der Sinus- funktion an. Untersuche die Funktion auch auf Periodizität, Monotonie und Symmetrie. Wie ® autet die k ® einste Periode? Die Eigenschaften der Sinusfunktion kann man anhand des Einheitskreises oder anhand des Graphen ab ® esen: Da der Sinus für a ®® e ree ®® en Zah ® en definiert ist und nur die Werte zwischen ‒1 und 1 annimmt gi ® t: Definitionsmenge: R  und Wertemenge: [‒1; 1]. Es ist zu beachten, dass es unend ® ich vie ® e Nu ®® ste ®® en und Extremste ®® en gibt. Es ist daher hi ® freich, zuerst einige Nu ®® ste ®® en abzu ® esen und diese ansch ® ießend zu vera ®® gemeinern: Nu ®® ste ®® en bei x = 0, π , 2 π , ‒ π … a ®® gemein bei x = k · π , k * Z Maximumste ®® en bei x = π _ 2  , ‒   3 π _ 2 , 5 π _ 2 a ®® gemein bei x = π _ 2 + k · 2 π , k * Z Minimumste ®® en bei x = 3 π _ 2 , 7 π _ 2  , ‒   π _ 2 a ®® gemein bei x = 3 π _ 2 + k · 2 π , k * Z streng monoton fa ®® end: 4 π _ 2 ; 3 π _ 2 5 a ®® gemein: 4 π _ 2 + k · 2 π ; 3 π _ 2 + k · 2 π  5 , k * Z streng monoton steigend: 4 ‒   π _ 2 ; π _ 2 5 a ®® gemein: 4 ‒   π _ 2 + k · 2 π ; π _ 2 + k · 2 π  5 , k * Z Die Sinusfunktion ist periodisch mit k ® einster Periode 2 π : Es gi ® t somit für a ®® e x: sin(x) = sin(x + 2 π) . Die Sinusfunkton ist eine ungerade Funktion. Es gi ® t für a ®® e x: f(x) = ‒ f(‒ x). 0 – π –2 π π –2 3 π –2 5 π –2 π 2 π Periodenlänge 2 π f(x) = sin(x) π – –2 3 π – –2 5 π – –2 1 2 –1 f(x) x Techno ® ogie Darste ®® ung 46h32p 0 – π –2 π π –2 3 π –2 5 π –2 π 2 π Periodenlänge 2 π f(x) = cos(x) π – –2 3 π – –2 5 π – –2 1 2 –1 f(x) x 0 – π –2 π π –2 3 π –2 5 π –2 π 2 π Perioden- länge π f(x) = tan(x) π – –2 3 π – –2 5 π – –2 1 2 –1 –2 f(x) x muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv