Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 104 Winkelfunktionen 7 Da der Umfang des Einheitskreises mit u = 2 ·1 · π = 2 · π berechnet werden kann, können bestimmte Kreistei ® e re ® ativ einfach im Kopf in den verschiedenen Winke ® maßen angegeben werden. – Z. B. entspricht 90° einem Vierte ® von 360°. Bei der Umwand ® ung ins Bogenmaß nimmt man daher ein Vierte ® von 2 π und erhä ® t 90° = 2 π _ 4 rad = π _ 2 rad . – 45° entspricht der Hä ® fte von 90°. Bei der Umwand ® ung ins Bogenmaß nimmt man daher die Hä ® fte von π _ 2 und erhä ® t 45° = 1 _ 2 · π _ 2 rad = π _ 4 rad . – 135° kann man in 90° + 45° zer ® egen. Bei der Umwand ® ung ins Bogenmaß kann z. B. wie fo ® gt vorgegangen werden: 135° = π _ 2 + π _ 4 rad = 3 π _ 4 rad . Die fo ® genden Werte so ®® te man auswendig wissen bzw. sich her ® eiten können. α (°) 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° α (rad) 0 π _ 4 π _ 2 3 π _ 4 π 5 π _ 4 3 π _ 2 7 π _ 4 2 π Um für be ® iebige Winke ® zwischen den Winke ® maßen wechse ® n zu können, kann man die Forme ® zur Berechnung des Kreisbogens am Einheitskreis verwenden und erhä ® t fo ® genden Zusammenhang: α rad = b = π · α ° _ 180 w α rad _ π = α ° _ 180 Zusammenhang zwischen einem Winke ® α in Bogenmaß und Gradmaß α rad _ π = α ° _ 180 387. Gib den Winke ® α = 37,5° im Bogenmaß an. α rad _ π = 37,5° _ 180 | · π w α rad = 37,5 _ 180 · π = 0,654 388. Gib den Winke ® im Bogenmaß an. a) 83,4° b) 61,4° c) 1,4° d) 112,35° e) 192,8° f) 201,3° g) 358° 389. Gib den Winke ® in Grad an. a) 5,56 b) 1,32 c) 0,51 d) 2,34 e) 3,14 f) 6,1 g) 3,16 Sinus, Cosinus und Tangens eines Winke ® s α Geogebra: in Grad: sin( α °) Beispie ® : sin(90°) = 1 im Bogenmaß: sin( α ) Beispie ® sin 2 π _ 2 3 = 1 TI-Nspire: in Grad: sin( α ) Beispie ® sin(90) = 1 im Bogenmaß: sin( α r ) Beispie ® sin 2 2 π _ 2 3 r 3 = 1 r erhä ® t man mitte ® s π und dann r auswäh ® en 390. Überprüfe die Richtigkeit der Aussagen mit Hi ® fe eines e ® ektronischen Too ® s. a)  sin(34°) ≈ 0,56   c)  cos(34°) ≈ 0,83   e)  tan(34°) ≈ 0,67 b)  sin(0,47) ≈ 0,45   d)  cos(0,47) ≈ 0,89   f)  tan(0,47) ≈ 0,51 Hinweis: b, d und f sind im Bogenmaß angegeben. 0 y x 2 1 1 2 rad = 90° rad = 135° rad = 225° 3 π –4 rad = 270° 3 π –2 5 π –4 rad = 315° 7 π –4 π –2 rad = 45° π –4 2 π rad = 360° π rad = 180° muster Techno ® ogie An ® eitung g8d2c4 techno- logie Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv