Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

Merke 79 kompe- tenzen 5.4 Satzgruppe von VIETA Lernzie ® : º Den Satz von Vieta kennen und anwenden können (AG-L 2.6) Im Abschnitt 5.1 wurde bereits der Produkt-Nu ®® -Satz angewandt. Dieser kann auch verwendet werden, um quadratische G ® eichungen mit bestimmten Lösungen zu erzeugen. Sucht man z. B. eine quadratische G ® eichung mit den Lösungen x 1 = 3 und x 2 = ‒ 4, kann man diese so aufste ®® en: (x – 3) · (x + 4) = 0 w x 2 + x – 12 = 0. Mit Hi ® fe des Produkt-Nu ®® -Satzes hat man somit eine normierte quadratische G ® eichung mit p = 1 und q = ‒12 gefunden, die sicher die beiden Lösungen x 1 = 3 und x 2 = ‒ 4 besitzt. Es ist sogar noch ein anderer Zusammenhang ersicht ® ich: (x – 3) · (x + 4) = x 2 – (3 + (‒ 4)) · x + 3 · (‒ 4) = 0. Man erkennt, dass q das Produkt der beiden Lösungen und p die Gegenzah ® der Summe der beiden Lösungen ist. Diese Sätze werden Satzgruppe von Vieta genannt (Beweis auf S. 266). Satzgruppe von VIETA Sind x 1 und x 2 Lösungen einer normierten quadratischen G ® eichung x 2 + p · x + q = 0, dann gi ® t: (1) x 1 + x 2 = ‒ p (2) x 1 · x 2 = q (3) (x – x 1 ) · (x – x 2 ) = x 2 + p · x + q. 344. Zer ® ege die ® inke Seite der G ® eichung 2 x 2 – 12 x + 10 = 0 in ein Produkt von Linearfaktoren. Um die G ® eichung in ein Produkt von Linearfaktoren zu zer ® egen, werden zuerst die beiden Lösungen mit der großen oder k ® einen Lösungsforme ® berechnet: x 1 = 1, x 2 = 5. Um die ® inke Seite aufzuspa ® ten, muss zuerst 2 herausgehoben werden. Ansch ® ießend kann der 3. Tei ® des Satzes von Vieta angewendet werden. 2 x 2 – 12 x + 10 = 2 · (x 2 – 6 x + 5) = 2 · (x – 1) · (x – 5). 345. Zer ® ege die ® inke Seite der G ® eichung in ein Produkt von Linearfaktoren. a) x 2 + 13 x + 12 = 0 c) x 2 – 27x + 180 = 0 e) 4 x 2 – 8 x + 4 = 0 b) x 2 – 7x + 12 = 0 d) ‒ x 2 + 2 x + 15 = 0 f) 2 x 2 – 3 x – 2 = 0 346. Gib zwei quadratische G ® eichungen an, we ® che fo ® gende Lösungen besitzen. a) x 1 = 5; x 2 = ‒1 c) x 1 = 8; x 2 = 0 e) x 1 = ‒12; x 2 = +13 b) x 1 = 0,2; x 2 = 7 d) x 1 = ‒ 2; x 2 = ‒ 2 f) x 1 = ‒7; x 2 = ‒ 5 347. Gegeben sind Lösungen oder die Parameter p und q einer quadratischen G ® eichung der Form x 2 + p · x + q = 0. Ste ®® e die G ® eichung auf und gib beide Lösungen an. a) x 1 = ‒ 3; p = ‒ 4 c) p = ‒15; x 1 = ‒ 9 e) p = ‒ 3; q = 2 b) x 2 = ‒12; q = 48 d) x 1 = 33; q = ‒ 99 f) p = ‒16; q = 39 348. Verwende die ersten beiden Tei ® e des Satzes von Vieta um die Lösungen aus N der quadratischen G ® eichung „zu erraten“. a) x 2 – 3 x + 2 = 0 b) x 2 + 2 x – 15 = 0 c) x 2 – 13 x + 40 = 0 Vertiefung Francois Vieta 3qa543 muster Arbeitsb ® att Satzgruppe von Vieta a34t7b Nur x zu Prüfzwecken – Eigentum des x Verlags öbv