Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

77 kompe- tenzen 5.2 Quadratische Bruchg ® eichungen Lernzie ® : º Bruchg ® eichungen, die sich auf quadratische G ® eichungen umformen ® assen, ® ösen können Schon in der Unterstufe wurden Bruchg ® eichungen behande ® t. Diese führten meist zu ® inearen G ® eichungen. In diesem Abschnitt werden Bruchg ® eichungen erarbeitet, die man in quadratische G ® eichungen umformen kann. 329. Löse die Bruchg ® eichung 3 x + 3 _ x 2 – 1 – 2 x + 4 _ x – 1 = 2. We ® che Werte darf x nicht annehmen? Zuerst wird die Definitionsmenge bestimmt. Da der Nenner bei +1 und ‒1 Nu ®® ergeben würde, müssen diese beiden Werte ausgenommen werden. D = {x * R‡ x ≠ ±1} = R \{±1} Um den gemeinsamen Nenner zu bestimmen, werden die einze ® nen Nenner so weit wie mög ® ich zer ® egt. x 2 – 1 = (x + 1) · (x – 1) x – 1 (kann man nicht zer ® egen) Der gemeinsame Nenner ist daher: (x + 1) · (x – 1). Durch Erweitern erhä ® t man: (3 x + 3) __ (x – 1)(x + 1) – (2 x + 4)(x + 1) __ (x – 1)(x + 1) = 2(x – 1)(x + 1) __ (x – 1)(x + 1) | · (x – 1)(x + 1) 3 x + 3 – (2 x + 4)(x + 1) = 2(x + 1)(x – 1) | vereinfachen 3 x + 3 – (2 x 2 + 6 x + 4) = 2 x 2 – 2 3 x + 3 – 2 x 2 – 6 x – 4 = 2 x 2 – 2 | – 2 x 2 + 2 ‒ 4 x 2 – 3 x + 1 = 0. Durch Einsetzen in die große Lösungsforme ® mit a = ‒ 4, b = ‒ 3, c = 1 erhä ® t man x 1 = ‒1 bzw. x 2 = 1 _ 4 . Da ‒1 nicht in der Definitionsmenge entha ® ten ist, gi ® t: L = { 1 _ 4 } . 330. Gegeben ist die Bruchg ® eichung 7 _ 2 x – 3 = 3 _ x + 1 + 3 x _ 5 x + 5 . Kreuze an, we ® che Werte x nicht annehmen darf.  3  ‒1  ‒1,5  2  5  1,5 331. Löse die Bruchg ® eichung mit G = R und gib die Definitionsmenge an. a) 3 x + 3 _ x + 2 = x + 1 _ x – 2 d) 30 _ 2 x + 8 – 4 = 3 _ x – 4 b) 2 x _ 4 – 2 x – 1 _ x = 0 e) ‒ 11 x _ x – 3 = 14 _ x + 3 + 2 x + 8 _ 2(x – 3) c) 8 __ (x + 2)(x – 2) – x + 1 _ x – 2 = ‒ 2 x + 3 _ x + 2 f) 20 _ x – 1 + 50 _ x = 105 _ x + 2 332. Löse die Bruchg ® eichung mit G = R und gib die Definitionsmenge an. a) 2 1 _ 4 + 2 x _ 3 – 2 x = 2 x _ 3 + 2 x c) 15 x – 2 __ x – 1 – 3 _ 8 = 10 x – 8 _ x + 1 e) 4 x – 14 _ 4 = 5 x – 35 _ x – 7 – 2 _ x – 4 b) 5 x – 8 _ x – 2 _ 9 = 7x – 2 _ x 2 d) 2 _ 2 x – 2 + 4 _ x + 1 = 2 x _ 2 x – 2 f) x + 3 _ x – 1 + 0,5 = x – 10 __ (x – 1) · (x – 10) 333. Löse die Bruchg ® eichungen mit G = R und gib die Definitionsmenge an. a) 15 x – 6 _ 2 x + 3 – 2 = (5 x – 2) 2 __ 4 x 2 + 12 x + 9 d) 2 x __ 16 + 12 x + 2 x 2 = 3 x + 12 __ (x + 4) 2 (x + 2) b) 3(x 3 – 3 x – 2) __ (x – 2) 2 (x + 2) – 3 x – 8 _ x – 2 = 2 x – 5 __ (‒ 4 + x 2 ) e) 7x + 2 _ x 2 – 4 – 4(x – 2) __ x 2 – 4 x + 4 = 5 _ x + 2 c) 24 __ 3 x 2 – 12 + 2 x + 3 _ x + 2 = 2 x + 2 __ (x – 2) · 2 f) 120 x __ x 3 – 25 x + 2 x + 26 _ 10 + 2 x = x + 1 _ x – 5 muster Techno ® ogie An ® eitung Lösen von quadratischen Bruchg ® eichungen 5mu548 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv