Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

Merke Merke 73 Quadratische Gleichungen | Lösen quadratischer Gleichungen Eine G ® eichung der Form x 2 + p · x + q = 0 mit p, q * R wird normierte quadratische G ® eichung genannt. Eine quadratische G ® eichung der Form x 2 + p · x + q = 0 ist eine Sonderform. Sie entsteht, wenn man eine G ® eichung der Form a · x 2 + b · x + c = 0 (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0) durch den Koeffizi- enten a dividiert: a · x 2 + b · x + c = 0 |: a w x 2 + b _ a · x + c _ a = 0. Ersetzt man nun b _ a durch den Koeffizienten p und c _ a durch den Koeffizienten q, so erhä ® t man eine normierte G ® eichung der Form x 2 + p · x + q = 0. Normierte quadratische G ® eichungen der Form x 2 + p · x + q = 0 kann man entweder schritt- weise durch Ergänzung auf ein vo ®® ständiges Quadrat oder mit der sogenannten „k ® einen Lösungsforme ® “ ® ösen. Es wird die G ® eichung x 2 + 6 x – 7 = 0 sowie die a ®® gemeine G ® eichung x 2 + p · x + q = 0 in drei Schritten ge ® öst: 1. Schritt: Die Zah ® wird – wenn notwendig – auf eine Seite gebracht: x 2 + 6 x – 7 = 0 | + 7 x 2 + p · x + q = 0 | – q x 2 + 6 x = 7 x 2 + p · x = ‒ q 2. Schritt: Die ® inke Seite wird auf ein vo ®® ständiges Quadrat ergänzt (so, dass eine binomi- sche Forme ® angewandt werden kann) und a ® s Binom angeschrieben. x 2 + 6 x = 7 | + 9 x 2 + p · x = ‒ q | + 2 p _ 2 3 2 x 2 + 6 x + 9 = 16 (= 7 + 9) x 2 + p · x + 2 p _ 2 3 2 = + 2 p _ 2 3 2 – q (x + 3) 2 = 16 2 x + p _ 2 3 2 = 2 p _ 2 3 2 – q 3. Schritt: Durch Umformen erhä ® t man die Lösungen der G ® eichung: 2 x + 3 3 2 = 16 | ± 2 9 _ 2 x + p _ 2 3 2 = 2 p _ 2 3 2 – q | ± 2 9 _ x + 3 = ± 4 | – 3 x + p _ 2 = ± 2 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q | – p _ 2 x 1, 2 = ‒ 3 ± 4 x 1, 2 ​=​‒​​ p _ 2 ± 2 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q x 1 = ‒ 3 + 4 = 1 bzw. x 2 = ‒ 3 – 4 = ‒7 k ® eine Lösungsforme ® Für die Lösungen einer normierten quadratischen G ® eichung der Form x 2 + p · x + q = 0 gi ® t die k ® eine Lösungsforme ® : x 1, 2 = ‒ p _ 2 ± 2 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q. D = 2 p _ 2 3 2 – q wird auch a ® s Diskriminante D der normierten quadratischen G ® eichung bezeichnet. 307. Löse die quadratische G ® eichung in R mit der k ® einen Lösungsforme ® . a) x 2 – 2 x + 3 _ 4 = 0 b) x 2 + 6 x + 9 = 0 c) x 2 – 3 x + 9 = 0 p = ‒ 2, q = 3 _ 4 p = 6, q = 9 p = ‒ 3, q = 9 x 1, 2 = 1 ± 2 9 _____ (‒1) 2 – 3 _ 4 x 1, 2 = ‒ 3 ± 2 9 ___ 3 2 – 9 x 1, 2 = 3 _ 2 ± 2 9 _____ 2 ‒ 3 _ 2 3 2 – 9 x 1, 2 = 1 ± 1 _ 2 x 1, 2 = ‒ 3 ± 0 x 1, 2 = 3 _ 2 ± 2 9 __ ‒ 27 _ 4 + R x 1 = 3 _ 2 bzw. x 2 = 1 _ 2 x 1, 2 = ‒ 3 w keine ree ®® e Lösung L = { 1 _ 2 ; 3 _ 2 } L = {‒ 3} L = { } Techno ® ogie An ® eitung Her ® eitung der k ® einen Lösungsforme ® 68r73a muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum x des Verlags _ öbv