Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

Merke 71 Quadratische Gleichungen | Lösen quadratischer Gleichungen Lösungen einer quadratischen G ® eichung Eine quadratische G ® eichung kann keine, eine oder zwei ree ®® e Lösungen besitzen. 293. Löse die G ® eichung in R . a) x 2 – 49 = 0 c) x 2 – 81 = 0 e) 25 y 2 = 0 g) 26 x 2 – 49 = x 2 b) x 2 – 121 = 0 d) 16 x 2 – 100 = 0 f) 100 y 2 – 25 = 0 h) x 2 – 22 = ‒18 294. Löse die G ® eichung und gib die Lösungsmenge mit Grundmenge (1) N (2) Z (3) R an. a) (x – 3) · (x + 5) = 2 x + 1 d) 2 x – (3 x – 2) 2 = 7· (2 x + 3) – 34 b) (x + 7) · (x – 9) = ‒ 2 x – 38 e) 3 x – 3 · (x 2 + 7) = (x – 4) 2 + 11 x – 1 – 8 x 2 c) 6 x 2 + 7x + 4 = 2 x + (2 x – 1) · (x + 3) f) (2 x + 5) 2 = (2 x + 3) · (4 + 4 x) – 3 295. Begründe, warum die Umformung keine Äquiva ® enzumformung ist. a) x 2 = 100 | 2 9 _ w x = 10 c) x = ‒ 3 | quadrieren w x 2 = 9 b) x 2 = 36 | 2 9 _ w x = 6 d) 2 9 _ x = ‒ 9 | quadrieren w x = 81 296. Begründe, warum fo ® gender Beweis fa ® sch ist: 297. Betrachte die quadratische G ® eichung x 2 = r mit r * R . Gib a ®® e Werte für r an, damit die G ® eichung (1) keine (2) genau eine (3) zwei ree ®® e Lösungen besitzt. 298. Gegeben sind die Parameter a und c der G ® eichung a · x 2 + c = 0. Gib an, ob die G ® eichung keine, eine oder zwei ree ®® e Lösungen besitzt. a) a = 5, c = ‒ 3 c) a = ‒ 2, c = 8 e) a = 5, c = 0 b) a = ‒ 4, c = ‒ 3 d) a = 99, c = 100 f) a = ‒ 999 999, c = 0 299. Gegeben ist die quadratische G ® eichung a · x 2 + c = 0 mit a, c * R . Gib a ®® e Werte für a und c an, damit die G ® eichung (1) keine (2) genau eine (3) zwei ree ®® e Lösungen besitzt. 300. Gegeben ist die quadratische G ® eichung x 2 + v = d mit v, d * R . Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an. A Diese quadratische G ® eichung besitzt für jedes d und v genau 2 ree ®® e Lösungen.  B Ist v = d, dann besitzt die G ® eichung genau eine ree ®® e Lösung.  C Ist d ‒ v positiv, dann besitzt die G ® eichung zwei ree ®® e Lösungen.  D Ist d ‒ v negativ, dann besitzt die G ® eichung keine ree ®® e Lösung.  E Ist d < v, dann besitzt die G ® eichung zwei ree ®® e Lösungen.  Lösen einer be ® iebigen quadratischen G ® eichung Geogebra in CAS die G ® eichung eingeben und x= drücken Beispie ® : x^2 – 9 = 0 x= {x = ‒ 3, x = 3} TI-NSpire so ® ve(G ® eichung, Variab ® e) Beispie ® : Löse (x 2 – 9 = 0,x) x = ‒ 3 or x = 3 Es gilt: (– 1) 2 = (+ 1) 2 w zieht man nun von beiden Seiten die Quadratwurzel, erhält man: 2 9 ____ (– 1) 2 = 2 9 ____ (+ 1) 2 Da sich die Wurzel mit dem Quadrat aufhebt, gilt: – 1 = 1 AG-R 2.3 Techno ® ogie An ® eitung Lösen einer be ® iebigen quadratischen G ® eichung e2g84r techno- logie Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verl gs öbv