Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

Merke 70 Quadratische Gleichungen 5 Zum Lösen quadratischer G ® eichungen können je nach Art verschiedene Methoden angewendet werden. Im Fo ® genden werden drei verschiedene Arten von quadratischen G ® eichungen unterschieden (a ≠ 0, a, b, c * R ): Fa ®® 1: a · x 2 + c = 0 (b = 0) Fa ®® 2: a · x 2 + b · x = 0 (b ≠ 0, c = 0) Fa ®® 3a: x 2 + p · x + q = 0 (a = 1, b = p, c = q) Fa ®® 3b: a · x 2 + b · x + c = 0 (a, b, c be ® iebig) G ® eichungen der Form a · x 2 + c = 0 Definition Quadratwurze ® Die Quadratwurze ® einer nicht negativen Zah ® x, ist jene nicht negative Zah ® , die zum Quadrat wieder x ergibt. Kurz: 2 9 _ x = a É x = a 2 (a, x * R , a º 0, x º 0) 291. Berechne das Ergebnis. a) 9 _ 4 c) 9 _ 1 e) 9 ____ 160000 g) 9 ___ 3249 b) 9 __ 36 d) 9 __ 225 f) 9 ___ 1369 h) 9 __ 169 Fo ® gende Aufgabenste ®® ung ist gegeben: Finde a ®® e ree ®® en Zah ® en, die mit sich se ® bst mu ® tip ® iziert 9 ergeben. Möchte man diesen Sachverha ® t durch eine quadratische G ® eichung darste ®® en, erhä ® t man: x 2 = 9 Lösen durch Ausprobieren: Betrachtet man die G ® eichung, so erkennt man ® eicht durch Ausprobieren, dass sowoh ® + 3 a ® s auch ‒ 3 zum Quadrat 9 ergeben. Die Lösungsmenge der G ® eichung ist daher gegeben durch: L = {‒ 3; + 3} Lösen durch Wurze ® ziehen Es ist zu beachten, dass das Quadratwurze ® ziehen keine Äquiva ® enzumformung ist, da man dadurch nur die positive Lösung erha ® ten würde (man würde die Lösung ‒ 3 ver ® ieren). Um anzudeuten, dass man im Kopf die Wurze ® zieht und auch die negative Lösung nicht vergisst, wird in diesem Buch fo ® gende Schreibweise verwendet: x 2 = 9 | ± 9 _ x 1, 2 = ± 3 oder x 1 = + 3 und x 2 = ‒ 3 w L = {‒ 3; + 3} 292. Löse die fo ® genden G ® eichungen in R . (1) 5 x 2 – 80 = 0 (2) 5 x 2 = 0 (3) 5 x 2 + 80 = 0 5 x 2 – 80 = 0 | + 80 5 x 2 = 0 | :5 5 x 2 + 80 = 0 | – 80 5 x 2 = 80 | : 5 x 2 = 0 | ± 2 9 _ 5 x 2 = ‒ 80 | : 5 x 2 = 16 | ± 9 _ x 2 = ‒16 | ± 9 _ x 1, 2 = ± 4 x 1, 2 = 0 x 1, 2 = ± 9 ___ ‒16 L = {± 4} L = {0} L = { } (2 Lösungen) (1 Lösung) (keine ree ®® e Lösung) vorwissen muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv