Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

30 1 Reflexion „Zum Beispie ® ist noch kein Beweis“ (jüdisches Sprichwort) Diese beiden Seiten geben Dir einen Einb ® ick in die We ® t der mathematischen Beweise. Es ist eine Geschichte von Triumph und Nieder ® age – denn nicht jede Vermutung schafft es in den mathematischen O ® ymp. Phase 4 Einen Beweis aufste ®® en – die Vermutung wird zum mathemati- schen Satz A ® gebraischer Beweis n 2 ist der a ® gebraische Ausdruck für a ®® e Quadratzah ® en und 2 n + 1 der Ausdruck für die nächste ungerade Zah ® , die addiert wird (n * N ). n 2 + 2 n + 1 = (n + 1) 2 Man erhä ® t a ® so immer die nächste Quadratzah ® ! Vermutung 1 Wenn man bei 1 anfängt und der Reihe nach die ungeraden Zah ® en addiert, so erhä ® t man immer die nächste Quadratzah ® . 1 Quadratzah ® ! 1 + 3 = 4 Quadratzah ® ! 1 + 3 + 5 = 9 Quadratzah ® ! 1 + 3 + 5 + 7 = 16 Quadratzah ® ! Vermutung 2 Jede gerade Zah ® größer a ® s 2 kann a ® s Summe zweier Primzah ® en geschrieben werden. 4 = 2 + 2 stimmt! 6 = 3 + 3 stimmt! 8 = 3 + 5 stimmt! 10 = 7 + 3 stimmt! ???? An der Vermutung 2 beißen sich schon Generationen von Mathe- matikern die Zähne aus. Sie ist bis heute zwar stets bestätigt worden, aber es ist noch niemandem ge ® ungen, diesen Satz zu beweisen oder zu wider ® egen. Man nennt diese Vermutung nach ihrem Entdecker Go ® dbachsche Vermutung . Vermutung 3 Der Term n 2 + n + 41 ergibt immer eine Primzah ® , wenn man für n eine natür ® iche Zah ® einsetzt. 1 + 1 + 41 = 43 Primzah ® ! 4 + 2 + 41 = 47 Primzah ® ! 9 + 3 + 41 = 53 Primzah ® ! n 2 + n + 41 = n (n + 1) + 41 Durch diese Veränderung des Terms erkennt man, dass die durch n = 40 oder n = 41 erzeugte Zah ® durch 41 tei ® bar ist. Damit ist die Vermutung 3 wider ® egt! Vermutung 4 Wenn man eine gerade natür ® iche Zah ® quadriert und dann eins addiert, so erhä ® t man immer eine Primzah ® . 2 2 + 1 = 5 Primzah ® ! 4 2 + 1 = 17 Primzah ® ! 6 2 + 1 = 37 Primzah ® 8 2 + 1 = 65 keine Primzah ® ! Damit ist die Vermutung 4 wider ® egt! Satz Addiert man die ersten m ungeraden Zah ® en, so erhä ® t man die Quadratzah ® m 2 . Addiert man zu m 2 die m + 1. ungerade Zah ® , so erhä ® t man die m 2 nachfo ® gende Qudratzah ® (m + 1) 2 . Geometrischer Beweis Phase 3 Einen Beweis suchen Phase 2 Mit konkreten Beispie ® en Vermutungen wider ® egen oder bestätigen Phase 1 Aufste ®® en von Vermutungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv