Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

269 Beweise | Anhang Geometrische Anwendung von Vektoren Vektor-Winke ® -Forme ® Für den Winke ® α zwischen zwei (vom Nu ®® vektor verschiedenen) Vektoren _ À a, _ À b * R 2 gi ® t: cos ( α ) = _ À a · _ À b __ | _ À a | · | _ À b | Für den Beweis muss zuerst fo ® gende Beziehung erk ® ärt werden. (1) | _ À a | 2 = _ À a 2 , da gi ® t: | _ À a | 2 = 2 9 ____ x a 2 + y a 2 3 2 = _ À a 2 Zur Berechnung des Winke ® s (vg ® . Abbi ® dung) kann der Cosinussatz verwendet werden. | _ À a – _ À b | 2 = | _ À a | 2 + | _ À b | 2 – 2 · | _ À a | · | _ À b | · cos( α ) | Anwendung der Beziehung (1) 2 _ À a – _ À b 3 2 = _ À a 2 + _ À b 2 – 2 · | _ À a | · | _ À b | · cos( α ) _ À a 2 – 2 · _ À a · _ À b + _ À b 2 = _ À a 2 + _ À b 2 – 2 · | _ À a | · | _ À b | · cos( α ) | – _ À a 2 – _ À b 2 ‒ 2 · _ À a · _ À b = ‒ 2 · | _ À a | · | _ À b | · cos( α ) | – 2 · | _ À a | · | _ À b | cos ( α ) = _ À a · _ À b __ | _ À a | · | _ À b | Geraden Schwerpunkt im Dreieck Sind A, B, C drei Punkte eine Dreiecks ABC, dann kann man den Schwerpunkt S berechnen mit: S = 1 _ 3 · (A + B + C) Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Schwer ® inien. Eine Schwer ® inie verbindet den Mitte ® punkt einer Seite mit dem gegenüber ® iegenden Eckpunkt. Um eine Forme ® für den Schwerpunkt zu erha ® ten, verwendet man die Eigenschaft, dass der Schwer- punkt die Schwer ® inie im Verhä ® tnis 1 : 2 tei ® t sowie die Forme ® zur Berechnung des Mitte ® punkts einer Strecke M AB = 1 _ 2 · (A + B). Daher gi ® t: S = M AB = 1 _ 3 · _ M AB C = 1 _ 2 · (A + B) + 1 _ 3 · (C – M AB ) = 1 _ 2 · (A + B) + 1 _ 3 · 2 C – 1 _ 2 · (A + B) 3 = 1 _ 2 · (A + B) + 1 _ 3 · C – 1 _ 6 · (A + B) = 1 _ 2 ·A + 1 _ 2 ·B + 1 _ 3 · C – 1 _ 6 ·A – 1 _ 6 ·B = 1 _ 3 ·A + 1 _ 3 ·B + 1 _ 3 · C = 1 _ 3 · (A + B + C) 12 S.232 Satz BEWEIS x y 2 4 6 –2 2 4 –2 0 α b a – b a 13 S.260 Satz BEWEIS C B A S M c s b s c s a M b M a a b c 1 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv