Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

268 Beweise Anhang Nicht ® ineare Funktionen Scheite ® punkt der quadratischen Funktion Der Scheite ® punkt der quadratischen Funktion f(x) = a x 2 + b x 2 + c ® autet: S = 2 ‒ b _ 2 a 1 4 a c – b 2 __ 4 a 3 An der Scheite ® punktform einer quadratischen Funktion kann man die Koordinaten des Scheite ® punkts S ® eicht ab ® esen: f(x) = a(x ‒ m) 2 + n; S = 2 m _ n 3 Wir bringen die a ®® gemeine quadratische Funktion der Form f(x) = ax 2 + bx + c durch quadratische Ergänzung auf die Scheite ® punktform: f(x) = a x 2 + b x + c f(x) = a 2 x 2 + b _ a x 3 + c f(x) = a 2 x 2 + b _ a x + 2 b _ 2 a 3 2 ‒ 2 b _ 2 a 3 2 3 + c f(x) = a 2 x 2 + b _ a x + 2 b _ 2 a 3 2 3 ‒ b 2 _ 4 a + c f(x) = a 2 x ‒ b _ 2 a 3 2 + c ‒ b 2 _ 4 a = a 2 x ‒ b _ 2 a 3 2 + 4 a c ‒ b 2 __ 4 a Aus dieser Form kann man die Koordinaten m und n des Scheite ® punkts ab ® esen: m = ‒ b _ 2 a und n = 4 a c – b 2 __ 4 a ; S = 2 ‒ b _ 2 a 1 4 a c – b 2 __ 4 a 3 Trigonometrie im a ®® gemeinen Dreieck Cosinussatz a 2 = b 2 + c 2 – 2 · b · c · cos( α ) b 2 = a 2 + c 2 – 2 · a · c · cos( β ) c 2 = a 2 + b 2 – 2 · a · b · cos( γ ) Für die Her ® eitung des Cosinussatzes für spitzwink ® ige Dreiecke wird das Dreieck z. B. durch die Höhe h c in zwei rechtwink ® ige Dreiecke untertei ® t. Rechtwink ® iges Dreieck AEC: cos( α ) = x _ b w x = b · cos( α ) b 2 = x 2 + h c 2 w h c 2 = b 2 – x 2 x einsetzen w h c 2 = b 2 – b 2 · cos 2 ( α ) Rechtwink ® iges Dreieck EBC: x + y = c w y = c – x a 2 = h c 2 + y2 für h c , y und x einsetzen: a 2 = b 2 – b 2 · cos 2 ( α ) + c 2 – 2 xc + x 2 a 2 = b 2 – b 2 · cos 2 ( α ) + c 2 – 2 · b · cos( α ) · c + b 2 · cos 2 ( α ) a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc · cos( α ) Ana ® oge Über ® egungen für die Cosinuswerte von β und γ führen zu den anderen G ® eichungen. 8 S.144 Satz BEWEIS 10 S.191 Satz BEWEIS b x y a A B E h c C α γ β c Nur zu Prüfzwecken __ – Eigentum des Verlags öbv