Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

267 Beweise | Anhang Lösungen einer quadratischen G ® eichung Für die Lösungen x 1 , x 2 einer quadratischen G ® eichung der Form ax 2 + bx + c = 0 gi ® t: x 1, 2 = ‒ b ± 9 _____ b 2 – 4 ac __ 2 a Um die Lösungsforme ® zu beweisen, kann man auf die k ® eine Lösungsforme ® zurückgreifen. Dazu wird die G ® eichung zuerst normiert: a x 2 + b x + c = 0 | : a w x 2 + b _ a x + c _ a = 0 Nun kann die k ® eine Lösungsforme ® x 1,2 = ‒ p _ 2 ± 2 9 ____ 2 p _ 2 3 2 ‒ q mit p = b _ a und q = c _ a verwendet werden: x 1, 2 = ‒ b _ a _ 2 ± 2 9 ____ 2 b _ a _ 2 3 2 – c _ a w x 1, 2 = ‒ b _ 2 a ± 2 9 _____ 2 b _ 2 a 3 2 – c _ a w x 1, 2 = ‒ b _ 2 a ± 2 9 ____ b 2 _ 4 a 2 – c _ a Bringt man die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und zieht ansch ® ießend tei ® weise die Wurze ® , erhä ® t man die große Lösungsforme ® . x 1, 2 = ‒ b _ 2 a ± 2 9 ____ b 2 – 4 a c __ 4 a 2 w x 1, 2 = ‒ b ± 9 _____ b 2 – 4 a c __ 2 a Lineare Funktionen Graph einer ® inearen Funktion Der Graph einer ® inearen Funktion mit der a ®® gemeinen Funktionsg ® eichung f(x) = k x + d ist immer eine Gerade. Ist der Graph von f(x) = k x + d eine Gerade, so sind a ®® e Steigungsdreiecke ähn ® ich, d. h. das Seitenverhä ® tnis Δ y _ Δ x ist bei a ®® en Steigungsdreiecken g ® eich. Man nimmt zwei be ® iebige Punkte auf dem Funktionsgraphen von f(x) an und berechnet das Seitenverhä ® tnis Δ y _ Δ x . P 1 = (a 1 k a + d) P 2 = (b 1 k b + d) Δ y _ Δ x = k b + d – (k a + d) ___ b – a = k b – k a __ b – a = k(b – a) _ b – a = k A ® so ist das Verhä ® tnis immer konstant k und a ®® e Steigungsdreiecke zueinander ähn ® ich. S.75 Satz BEWEIS 7 S.113 Satz BEWEIS x f(x) P 1 = (a 1 ka + d) Δ x = b – a Δ y = k(b – a) P 2 = (b 1 kb + d) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum . des Verlags öbv