Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

266 Beweise Anhang Beweise Quadratische G ® eichungen Satzgruppe von VIETA Sind x 1 und x 2 Lösungen einer normierten quadratischen G ® eichung x 2 + p x + q = 0, dann gi ® t: (1) x 1 + x 2 = ‒ p (2) x 1 · x 2 = q (3) (x 2 + p x + q) = (x – x 1 ) · (x – x 2 ) Tei ® 1: x 1 + x 2 = ‒ p Die k ® eine Lösungsforme ® ® autet: x 1, 2 = ‒ p _ 2 ± 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q . Diese Forme ® ® ässt sich in zwei Forme ® n aufspa ® ten: x 1 = ‒ p _ 2 + 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q und x 2 = ‒ p _ 2 – 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q . Addiert man nun beide Seiten, so erhä ® t man x 1 + x 2 = 2 ‒ p _ 2 + 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q 3 + 2 ‒ p _ 2 – 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q 3 . Ansch ® ießend ® öst man die K ® ammern auf: x 1 + x 2 = ‒ p _ 2 + 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q – p _ 2 – 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q . Nun kann man die Wurze ® n voneinander abziehen und erhä ® t x 1 + x 2 = ‒ p _ 2 – p _ 2 , a ® so: x 1 + x 2 = ‒ p. Tei ® 2: x 1 · x 2 = q Wie in Tei ® 1 wird die k ® eine Lösungsforme ® in zwei Forme ® n aufgespa ® ten. x 1, 2 = ‒ p _ 2 ± 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q w x 1 = ‒ p _ 2 + 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q und x 2 = ‒ p _ 2 – 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q Nun werden beide G ® eichungen miteinander mu ® tip ® iziert. x 1 · x 2 = 2 ‒ p _ 2 + 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q 3 · 2 ‒ p _ 2 – 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q 3 Die rechte Seite kann man nun a ® s Binom darste ®® en (verg ® eiche 3. Binomische Forme ® ). x 1 · x 2 = 2 ‒ p _ 2 3 2 – 2 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q 3 2 Da die Diskriminante positiv ist (Voraussetzung), heben sich Wurze ® und Potenz auf. Man erhä ® t: x 1 · x 2 = 2 ‒ p _ 2 3 2 – 2 p _ 2 3 2 – (‒ q) = q Tei ® 3: 2 x 2 + px + q 3 = (x – x 1 ) · (x – x 2 ) Für die beiden Lösungen der G ® eichung x 2 + p x + q = 0 gi ® t: x 1, 2 = ‒ p _ 2 ± 9 _ D mit D = 2 p _ 2 3 2 – q. Setzt man die beiden Lösungen in die rechte Seite der Behauptung ein, erhä ® t man: (x – x 1 ) · 2 x – x 2 3 = 2 x – 2 – p _ 2 + 9 _ D 3 3 · 2 x – 2 – p _ 2 – 9 _ D 3 3 = 2 x + p _ 2 – 9 _ D 3 · 2 x + p _ 2 + 9 _ D 3 Durch Ausmu ® tip ® izieren des Ausdrucks 2 x + p _ 2 – 9 _ D 3 · 2 x + p _ 2 + 9 _ D 3 und ansch ® ießendem Ersetzen von D durch 2 p _ 2 3 2 – q erhä ® t man die ® inke Seite der Behauptung: 2 x + p _ 2 3 2 – 2 9 _ D 3 2 = x 2 + p x + 2 p _ 2 3 2 – D = x 2 + p x + 2 p _ 2 3 2 – 2 p _ 2 3 2 + q = x 2 + p x + q 5 S.79 Satz BEWEIS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags _ öbv