Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

261 Geraden | Anwendungen Bei Musteraufgabe 992 auf S. 248 wurden das Aufste ®® en von Höhengeraden, Schwer ® inien und Streckensymmetra ® en bereits behande ® t. 1040. Bestimme die Koordinaten des Schwerpunkts des Dreiecks A = (1 1 ‒1), B = (‒ 5 1 ‒ 3), C = (4 1 ‒ 4) 1. Mög ® ichkeit (Forme ® ): S = A + B + C __ 3 = 2 1 ‒1 3 + 2 ‒ 5 ‒ 3 3 + 2 4 ‒ 4 3 ___ 3 = 2 0 ‒ 8 3 _ 3 = 2 0 1 ‒ 8 _ 3 3 2. Mög ® ichkeit (Schnittpunkt der Schwer ® inien): Eine Schwer ® inie verbindet den Mitte ® punkt einer Seite mit dem gegenüber ® iegenden Eckpunkt. M BC = (‒ 0,5 1 ‒ 3,5), M AB = (‒ 2 1 ‒ 2) _ À M _ À BC A = 2 1,5 2,5 3 , _ À M _ À AB C = 2 6 ‒ 2 3 Bestimmen der beiden Schwer ® inien: s a : X = 2 1 ‒1 3 + t · 2 1,5 2,5 3 s c : X = 2 4 ‒ 4 3 + s · 2 6 ‒ 2 3 Durch Schneiden der beiden Geraden erhä ® t man den Schwerpunkt S = 2 0 1 ‒ 8 _ 3 3 . 1041. Bestimme die Koordinaten (1) des Höhenschnittpunkts (2) des Schwerpunkts (3) des Umkreismitte ® punkts des Dreiecks ABC. a) A = (‒ 4 1 ‒ 3), B = (4 1 ‒ 2), C = (‒ 4 1 2) d) A = (2 1 2), B = (6 1 ‒1), C = (0 1 ‒ 4) b) A = (‒ 4 1 ‒ 3), B = (6 1 ‒ 5), C = (‒1 1 ‒1) e) A = (1 1 1), B = (‒ 3 1 ‒1), C = (5 1 ‒ 3) c) A = (‒ 3 1 ‒1), B = (‒1 1 ‒ 4), C = (0 1 1) f) A = (1 1 ‒1), B = (‒ 4 1 ‒ 4), C = (3 1 ‒ 4) Darste ®® ungsformen von Geraden Eine Gerade g kann auf verschiedene Arten dargeste ®® t werden, wobei P ein Punkt, _ À a ein Richtungsvektor und _ À n ein Norma ® vektor von g sind: g: a · x + b · y = c a ®® gemeine Geradeng ® eichung g: y = k · x + d Hauptform g: X = P + t · _ À a, t * R Parameterdarste ®® ung g: _ À n · X = _ À n · P Norma ® vektordarste ®® ung Zusammenhang der Darste ®® ungsformen von Geraden Ist eine Gerade g in der a ®® gemeinen Form a · x + b · y = c gegeben, dann ist 2 a b 3 ein Norma ® vektor der Geraden. Ist sie in der Hauptform y = k · x + d gegeben, dann ist 2 1 k 3 ein Richtungsvektor von g. Winke ® zwischen zwei Geraden Sind _ À g und _ À h die Richungsvektoren der nicht para ®® e ® en Geraden g und h, dann gi ® t für den Winke ® α zwischen den beiden Geraden: cos( α ) = _ À g · _ À h __ | _ À g | · | _ À h | TIPP muster x y 2 4 6 –6 –4 –2 –2 0 A C B M c M a M b a b c Arbeitsb ® att merkwürdige Punkte 952v8d zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv