Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

260 kompe- tenzen 13.5 Anwendungen Lernzie ® e: º Den Abstand eines Punktes zu einer Geraden berechnen º Den Höhenschnittpunkt, den Umkreismitte ® punkt und den Schwerpunkt eines Dreiecks berechnen Abstand eines Punktes zu einer Geraden Mit Hi ® fe der Vektorrechnung bzw. den Darste ®® ungsarten von Geraden kann der Abstand eines Punktes zu einer Geraden berechnet werden. 1037. Berechne den Abstand des Punktes P = (‒ 3 1 1) von der Geraden g: X = 2 2 0 3 + t · 2 3 2 3 . Der Abstand von P zu g wird oft mit d(P, g) abgekürzt (für eng ® . distance). Um den Norma ® abstand des Punktes P zur Geraden g zu berechnen, muss eine zu g norma ® e Gerade n aufgeste ®® t und mit g geschnitten werden. Danach wird die Länge des Vektors _ À PS berechnet. Um die Norma ® e von g durch den Punkt P zu erha ® ten, muss ein Norma ® vektor von g aufgeste ®® t werden: _ À n g = 2 ‒ 2 3 3 . Mit Hi ® fe des Norma ® vektors kann nun die Gerade n aufgeste ®® t werden, da diese den Punkt P enthä ® t gi ® t: n: X = 2 ‒ 3 1 3 + s · 2 ‒ 2 3 3 . Durch Schneiden der beiden Geraden n und g erhä ® t man S = (‒1 1 ‒ 2). Durch Berechnung der Länge des Vektors _ À PS erhä ® t man: d(P, g) = | _ À PS | = | 2 2 ‒ 3 3 | = 9 __ 13. 1038. Bestimme den Abstand der Geraden g zu dem Punkt R. a) g: X = 2 1 ‒ 2 3 + t · 2 2 3 3 , R = (0 1 3) c) g: X = 2 3 ‒ 2 3 + t · 2 ‒1 ‒ 2 3 , R = (2 1 1) b) g: X = 2 ‒ 3 ‒1 3 + t · 2 ‒1 4 3 , R = (4 1 5) d) g: X = 2 6 3 3 + t · 2 3 5 3 , R = (‒ 2 1 1) 1039. Bestimme den Abstand der Gerade g zu dem Punkt R. a) g: 2 x – y = 5, R = (‒1 1 3) b) g: ‒ x + 4 y = 8, R = (5 1 ‒1) c) g: 3 x + 2 y = ‒ 3, R = (2 1 2) Merkwürdige Punkte im Dreieck Mit Hi ® fe von Vektoren kann man die merkwürdigen Punkte im Dreieck berechnen. Um diese berechnen zu können, müssen jewei ® s zwei Geraden miteinander geschnitten werden. Der Höhenschnittpunkt ist der Schnittpunkt der Höhengeraden , der Schwerpunkt der Schnitt- punkt der Schwer ® inien und der Umkreismitte ® punkt ist der Schnittpunkt der Streckensymmetra ® en . Den Schwerpunkt kann man auch mitte ® s der fo ® genden einfachen Forme ® berechnen (Her ® eitung der Forme ® S. 269). Schwerpunkt im Dreieck Sind A, B, C drei Punkte eines Dreiecks ABC, dann kann man den Schwerpunkt S berechnen mit: S = 1 _ 3 (A + B + C) muster x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 –4 –2 0 d(P, g) P n S g Merke Nur zu Prüfzwecken . – Eigentum des Verlags öbv