Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

255 kompe- tenzen 13.3 Norma ® vektordarste ®® ung einer Geraden Lernzie ® e: º Die Norma ® vektordarste ®® ung einer Geraden angeben und interpretieren können º Punkte einer Geraden (in Norma ® vektordarste ®® ung) ermitte ® n können º Die Lagebeziehung zwischen Punkt und Gerade ermitte ® n können º Para ®® e ® e und norma ® e Geraden aufste ®® en können º Zusammenhänge zwischen den einze ® nen Darste ®® ungsarten anwenden können º Geraden in verschiedenen Darste ®® ungen angeben können Grundkompetenz für die schrift ® iche Reifeprüfung: AG-R 3.4 Geraden durch (Parameter-)G ® eichungen […] angeben können; Geradeng ® eichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) ana ® ysieren, Schnittpunkte ermitte ® n können (Geraden so ®® en in Parameterform, in R 2 auch in parameterfreier Form, angegeben und interpretiert werden können.) Bestimmen einer Norma ® vektordarste ®® ung Neben der Parameterdarste ®® ung gibt es noch eine andere Mög ® ichkeit, Geraden mit Hi ® fe von Vektoren darzuste ®® en. In nebenstehender Abbi ® dung ist ein Norma ® vektor _ À n g der Geraden g eingezeichnet, der natür ® ich auch auf den Richtungsvektor _ À a der Geraden norma ® steht. Die Gerade g kann durch fo ® gende Parameterdarste ®® ung beschrieben werden: g: X = P + t · _ À a, t * R Mu ® tip ® iziert man diese G ® eichung mit dem Norma ® vektor von g, dann gi ® t: _ À n · X = _ À n · P + t · _ À n · _ À a Da der Norma ® vektor von g auch norma ® auf den Richtungsvektor _ À a steht, muss das ska ® are Produkt _ À n · _ À a = 0 sein. Norma ® vektordarste ®® ung einer Geraden Sei _ À n ein Norma ® vektor und P ein be ® iebiger Punkt der Geraden g, dann gi ® t für a ®® e Punkte X * g: g: _ À n · X = _ À n · P (Norma ® vektordarste ®® ung einer Geraden) 1021. Ste ®® e die Gerade g[A = (‒ 3 1 ‒ 4), B = (4 1 1)] in Norma ® vektorform und a ®® gemeiner Form dar. Um die Gerade in Norma ® vektorform g: _ À n · X = _ À n · P darzuste ®® en, wird ein Punkt und ein Norma ® vektor der Geraden benötigt. A ® s Punkt kann A oder B verwendet werden. Um einen Norma ® vektor zu bekommen, geht man z. B. wie fo ® gt vor: _ À AB = 2 7 5 3 w _ À n = 2 ‒ 5 7 3 . Durch Einsetzen erhä ® t man: g: 2 ‒ 5 7 3 · X = 2 ‒ 5 7 3 · 2 ‒ 3 ‒ 4 3 (a ® s Punkt wurde A gewäh ® t). Die a ®® gemeine Form der Geradeng ® eichung erhä ® t man z. B. auf fo ® gende Art: g: 2 ‒ 5 7 3 · 2 x y 3 = 2 ‒ 5 7 3 · 2 ‒ 3 ‒ 4 3 w g: ‒ 5 x + 7y = 15 – 28 g: ‒ 5 x + 7y = ‒13. P g a n g Merke muster Nur zu Prüfzwecken , – Eigentum des Verlags n öbv