Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

254 Geraden 13 1017. Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden g und h. a) g: X = 2 ‒1 3 3 + t · 2 ‒ 2 4 3 h: X = 2 ‒ 3 2 3 + t · 2 1 ‒1 3 d) g: X = 2 ‒1 1 3 + t · 2 3 4 3 h: X = 2 11 ‒1 3 + s · 2 6 5 3 b) g: X = 2 2 ‒ 2 3 + t · 2 ‒ 2 3 3 h: X = 2 ‒10 16 3 + s · 2 1 ‒ 4 3 e) g: X = 2 5 ‒ 2 3 + t · 2 1 ‒ 2 3 h: X = 2 1 3 3 + s · 2 2 ‒ 3 3 c) g: X = 2 ‒ 3 2 3 + t · 2 6 9 3 h: X = 2 ‒ 3 11 3 + s · 2 8 ‒ 6 3 f) g: X = 2 1 ‒ 4 3 + t · 2 ‒12 4 3 h: X = 2 ‒ 31 7 3 + s · 2 4 ‒ 2 3 1018. Bestimme die Lagebeziehung der beiden Geraden g und h und berechne – wenn mög ® ich – deren Schnittpunkt. a) g: X = 2 ‒1 2 3 + t · 2 2 6 3 h: X = 2 11 ‒ 8 3 + s · 2 ‒ 3 ‒ 9 3 d) g: X = 2 5 ‒ 3 3 + t · 2 ‒1 5 3 h: X = 2 ‒18 20 3 + s · 2 4 ‒ 2 3 b) g: X = 2 ‒1 ‒ 3 3 + t · 2 ‒1 4 3 h: X = 2 ‒ 6 17 3 + s · 2 1 ‒ 4 3 e) g: X = 2 0 1 3 + t · 2 3 ‒ 4 3 h: X = 2 0 33 3 + s · 2 ‒ 6 ‒ 8 3 c) g: X = 2 2 1 3 + t · 2 2 3 3 h: X = 2 ‒ 3 11 3 + s · 2 ‒ 6 ‒ 9 3 f) g: X = 2 5 11 3 + t · 2 1 2 3 h: X = 2 1 3 3 + s · 2 2 4 3 Bestimmen des Schnittpunkts zweier bereits definierten Geraden g und h Geogebra: Schneide(g,h) Beispie ® : g: X = (2,4) + t * (‒ 3,5) Schneide(g,h) = (‒7,19) h: X = (1,7) + s * (‒ 4,6) TI-NSpire: so ® ve(g(t) = h(s),t) Beispie ® : g(t) ÷ = [2,4] + t.[‒ 3,5] h(s) ÷ = [1,7] + s * [‒ 4,6] w t = 3 and s = 2 w g(3) = [‒7,19] oder h(‒1) = [‒7,19] Erhä ® t man bei der Eingabe des Befeh ® s so ® ve das Ergebnis true bzw. fa ® se, dann sind die beiden Geraden ident bzw. para ®® e ® (d. h. sie haben unend ® ich vie ® e bzw. keine gemeinsamen Schnittpunkte). Zwei einander schneidende Geraden sch ® ießen mit- einander vier Winke ® ein, wobei jewei ® s zwei davon g ® eich sind. In vie ® en Fä ®® en hande ® t es sich um einen spitzen und einen stumpfen Winke ® . Da der Winke ® α zwischen zwei Geraden eindeutig sein so ®® te, hat man sich auf fo ® gende Eigenschaft geeinigt: 0° ª α ª 90° Den Winke ® zwischen den beiden Geraden kann man mit Hi ® fe der Vektor-Winke ® -Forme ® (vg ® . S. 232) und zwei Richtungsvektoren der Geraden berechnen. 1019. Berechne den Winke ® zwischen den beiden Geraden g und h. g: X = 2 ‒ 2 ‒ 4 3 + t · 2 2 ‒1 3 h[A = (2 1 5), B = (‒ 3 1 1)] Um den Winke ® zwischen den beiden Geraden zu berechnen, werden die beiden Richtungs- vektoren benötigt. Richtungsvektor von g: _ À g = 2 2 ‒1 3 Richtungsvektor von h: _ À h = _ À AB = 2 ‒ 5 ‒ 4 3 Da die beiden Richtungsvektoren nicht para ®® e ® sind, schneiden die beiden Geraden einander. Durch Einsetzen in die Vektor-Winke ® -Forme ® erhä ® t man: cos( α ) = 2 2 ‒1 3 · 2 ‒ 5 ‒ 4 3 __ 2 9 _ 5· 2 9 __ 41 = ‒10 + 4 _ 2 9 __ 205 w α = 114,78°. Da jener Winke ® berechnet werden so ®® , der zwischen 0° und 90° ® iegt, gi ® t für den spitzen Winke ® α ‘ = 180° – 114,78° = 65,22°. 1020. Berechne den Schnittwinke ® der Geraden g und h aus Aufgabe 1017. techno- logie g h α α 180° – α 180° – α h g muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags - - öbv