Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

252 13.2 Lagebeziehungen und Schnittwinke ® von Geraden Lernzie ® e: º Die Lagebeziehung zweier Geraden ermitte ® n können º Den Schnittwinke ® zweier Geraden bestimmen können Grundkompetenz für die schrift ® iche Reifeprüfung: AG-R 3.4 Geraden durch (Parameter-)G ® eichungen […] angeben können; Geradeng ® eichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) ana ® ysieren, […] (Geraden so ®® en in Parameterform, in R 2 auch in parameterfreier Form, angegeben und interpretiert werden können.) In den drei Abbi ® dungen sind a ®® e mög ® ichen Lagebeziehungen der beiden Geraden in R 2 g: X = G + t · _ À g und h: X = H + s · _ À h, s, t * R angegeben. g und h sind para ®® e ® g und h sind ident g und h schneiden einander g u h w keine Punkte gemeinsam g = h w unend ® ich vie ® e Punkte gemeinsam einen Punkt gemeinsam Die Richtungsvektoren der beiden Geraden sind para ®® e ® (d. h. sie sind ein Vie ® faches voneinander): _ À g = k · _ À h, k * R Die beiden Richtungsvektoren sind nicht para ®® e ® (d. h. kein Vie ® faches voneinander) Der Punkt G ® iegt nur auf g und nicht auf h: G * g ¥ G + h Der Punkt G ® iegt auf beiden Geraden: G * g ¥ G * h 1011. Bestimme die Lagebeziehung der beiden Geraden g und h. g: X = 2 ‒ 2 ‒ 3 3 + t · 2 1 2 3 h: X = 2 1 3 3 + s · 2 ‒ 3 ‒ 6 3 Zuerst werden die beiden Richtungsvektoren von g und h betrachtet. Die beiden Richtungsvektoren sind para ®® e ® , da ein Richtungsvektor ein Vie ® faches des anderen Richtungsvektors ist: 2 ‒ 3 ‒ 6 3 = (‒ 3) · 2 1 2 3 . Aus diesem Grund sind die beiden Geraden nicht schneidend. Um zu überprüfen, ob die beiden Geraden para ®® e ® oder ident sind, muss kontro ®® iert werden, ob G = (‒ 2 1 – 3) auch auf der Geraden h ® iegt (es wäre auch mög ® ich zu überprüfen, ob H = (‒ 3 1 – 6) auf g ® iegt). Dafür wird G in h eingesetzt. 2 ‒ 2 ‒ 3 3 = 2 1 3 3 + s · 2 ‒ 3 ‒ 6 3 w Durch Lösen der beiden G ® eichungen, erkennt man, dass der Punkt G auch auf der Geraden h ® iegt. Da die Geraden para ®® e ® e Richtungsvektoren und mindestens einen gemeinsamen Punkt besitzen, sind sie ident: g = h. kompe- tenzen Techno ® ogie Darste ®® ung Lagebeziehungen von Geraden wj276k G H g h h g G H g h h g G S H g h h g muster ‒ 2 = 1 – 3 s w s = 1 ‒ 3 = 3 – 6 s w s = 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv