Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

Merke 246 Geraden 13 Geraden können auch mit Hi ® fe der Vektorrechnung aufgeste ®® t werden. Es wird wieder eine Bedingung gesucht, die für a ®® e Punkte der Geraden gi ® t (für andere Punkte natür ® ich nicht): Jede Gerade g besteht aus unend ® ich vie ® en Punkten. In nebenstehender Abbi ® dung wurden ein Punkt P und ein Vektor _ À a eingezeichnet, sowie sechs weitere be ® iebige Punkte von g. Die Lage der Geraden kann durch den Punkt P, sowie durch den Vektor _ À a eindeutig festge ® egt werden (da Länge und Orientierung dieses Vektors in diesem Zusammenhang nicht wichtig sind, sondern nur seine Richtung, nennt man diesen Vektor auch einen Richtungsvektor der Geraden). Die anderen Punkte kann man mit den Methoden aus Abschnitt 12.4 auf fo ® gende Art berechnen: A 4 = P + 1 · _ À a A 5 = P + 2 · _ À a A 6 = P + 3 · _ À a A 3 = P – 1 · _ À a A 2 = P – 2 · _ À a A 1 = P – 3 · _ À a Da man diese Berechnung für a ®® e be ® iebigen Punkte X auf g durchführen könnte, nimmt man einen Parameter t (dieser steht für jede be ® iebige ree ®® e Zah ® ). Parameterdarste ®® ung einer Geraden g Sei g eine Gerade, P ein Punkt dieser Geraden und _ À a ein Richtungsvektor von g. Dann gi ® t für a ®® e Punkte X * g: X = P + t · _ À a, t * R Bestimmen einer Parameterdarste ®® ung durch einen bereits definierten Punkt A und einen bereits definierten Richtungsvektor v Geogebra: Gerade[A,v] Beispie ® : A = (2,3) v = (‒ 3,1) Gerade(A, v) TI-NSpire: x(t) ÷ = a + t * v Beispie ® : a ÷ = [2,3] v ÷ = [‒ 3,1] x(t) ÷ = a + t * v fertig 982. Gegeben ist ein Punkt P und ein Richtungsvektor _ À a der Geraden g. Gib eine Parameter- darste ®® ung der Geraden an. a) g 4 P = (‒ 2 1 ‒ 3); _ À a = 2 ‒ 3 2 3 5 c) g 4 P = (4 1 0); _ À a = 2 6 ‒ 2 3 5 e) g 4 P = (‒7 1 3); _ À a = 2 ‒ 30 12 3 5 b) g 4 P = (1 1 ‒1); _ À a = 2 ‒ 3 ‒ 2 3 5 d) g 4 P = (2 1 5); _ À a = 2 3 5 3 5 f) g 4 P = (4 1 1); _ À a = 2 3 2 3 5 983. Vereinfache den Richtungsvektor so, dass seine Komponenten ganzzah ® ig und so k ® ein wie mög ® ich sind. a) _ À a = 2 ‒ 0,3 0,1 3 b) _ À b = 2 12 ‒ 4 3 c) _ À c = 2 ‒ 0,25 ‒ 0,125 3 e) _ À e = 2 ‒ 2,3 4,6 3 g) _ À g = 2 ‒ 0,375 0,125 3 984. Verändere die Darste ®® ung der Geraden g so, dass die Komponenten des Richtungsvektors ganzzah ® ig und so weit wie mög ® ich vereinfacht sind. a) g: X = 2 ‒1 2,4 3 + t · 2 0,2 ‒ 0,8 3 c) g: X = 2 3,4 3 3 + t · 2 1,25 0,75 3 e) g: X = 2 ‒ 4 ‒ 3 3 + t · 2 6 12 3 b) g: X = 2 ‒ 4,1 3,3 3 + t · 2 0,9 0,9 3 d) g: X = 2 ‒1,6 ‒ 2,3 3 + t · 2 0,125 0,825 3 f) g: X = 2 4 3,2 3 + t · 2 0,6 0,2 3 P g A 6 A 5 A 4 A 3 A 1 A 2 a Techno ® ogie Darste ®® ung Parameter- darste ®® ung as79zm Techno ® ogie An ® eitung Parameter- darste ®® ung 6j342r techno- logie Nur zu Prüfzwecken – Eigentum 2 2 des Verlags öbv