Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

237 Geometrische Anwendungen von Vektoren | Finden von Norma ® vektoren 949. Von einem Quadrat sind der Eckpunkt A = (2 1 ‒ 3) und der Mitte ® punkt M = (1 1 ‒1) gegeben (Beschriftung gegen den Uhrzeigersinn). Bestimme die anderen Eckpunkte. Da 0 æ AM und 0 æ MC durch den g ® eichen Vektor repräsentiert werden, gi ® t: C = M + 0 æ AM = 2 1 ‒1 3 + 2 ‒1 2 3 = (0 1 1). Um den Eckpunkt B zu bekommen, muss man den Vektor 0 æ AM nach rechts kippen und zu M addieren, wie die Abbi ® dung zeigt. B = M + 0 æ n 0 æ AM r = 2 1 ‒1 3 + 2 2 1 3 = (3 1 0) Den Eckpunkt D erhä ® t man z. B. durch: D = A + 0 æ BC = 2 2 ‒ 3 3 + 2 ‒ 3 1 3 = (‒1 1 ‒ 2). 950. Von einem Quadrat sind zwei Punkte gegeben (Beschriftung gegen den Uhrzeigersinn). Bestimme die Koordinaten der anderen Eckpunkte durch Rechnung. Gib auch den F ® ächeninha ® t und den Umfang des Quadrats an. a) A = (‒ 3 1 ‒ 4), B = (1 1 ‒ 2) c) A = (‒1 1 ‒ 4), D = (1 1 3) e) B = (‒ 2 1 5), D = (4 1 1) b) A = (‒ 4 1 ‒ 5), M = (‒1 1 1) d) C = (‒ 3 1 6), M = (1 1 1) f) B = (10 1 2), M = (6 1 5) 951. Von einer Raute kennt man die beiden Eckpunkte A = (‒ 5 1 ‒ 4), und C = (‒ 2 1 ‒1), sowie die Länge der Diagona ® e f = 9 _ 2. Berechne die anderen beiden Eckpunkte, sowie den F ® ächeninha ® t der Raute. Da die Diagona ® en norma ® aufeinander stehen, einander ha ® bieren und man die Länge der Diagona ® e f kennt, muss man den nach rechts gekippten Norma ® vektor von 0 æ AC berechnen, auf die Länge der ha ® ben Diagona ® e von f bringen und diesen zum Mitte ® punkt der Raute addieren, um B zu erha ® ten. 0 æ AC = 2 3 3 3 w 0 æ n 0 æ AC r = 2 3 ‒ 3 3 M AC = 1 _ 2 ·(A + C) = (‒ 3,5 1 ‒ 2,5) Um den Norma ® vektor auf die Länge der ha ® ben Diagona ® e f zu bringen, muss man den Einheitsvektor des Norma ® vektors ausrechnen und diesen mit f _ 2 = 9 _ 2 _ 2 mu ® tip ® izieren. | 2 0 æ n 0 æ AC r 3 | = 9 ____ 3 2 + 3 2 = 9 __ 18 w 2 0 æ n 0 æ AC r 3 0 = 1 _ | 2 0 æ n 0 æ AC r 3 | · 0 æ n 0 æ AC r = 1 _ 9 __ 18 2 3 ‒ 3 3 w f _ 2 · 2 0 æ n 0 æ AC r 3 0 = 9 _ 2 _ 2 · 1 _ 9 __ 18 2 3 ‒ 3 3 = 2 0,5 ‒ 0,5 3 Den Eckpunkt B erhä ® t man nun durch: B = M + f _ 2 · 2 0 æ n 0 æ AC r 3 0 = 2 ‒ 3,5 ‒ 2,5 3 + 2 0,5 ‒ 0,5 3 = (‒ 3 1 ‒ 3). Den feh ® enden Eckpunkt D kann man auf verschiedene Arten ausrechnen, z. B. durch: D = A + 0 æ BC = 2 ‒ 5 ‒ 4 3 + 2 1 2 3 = (‒ 4 1 ‒ 2). Den F ® ächeninha ® t erhä ® t man durch A = e·f _ 2 . Aus e = | 0 æ AC | fo ® gt: e = | 0 æ AC | = 9 __ 18 w A = 9 __ 18· 9 _ 2 _ 2 = 3 FE. muster x y 2 1 3 4 –3 –2 – 1 1 –2 –3 – 1 0 A D B C n AM r n AM r AM AM M muster x y 1 2 3 – 7 –6 –5 –4 –3 –2 – 1 –4 –3 –2 – 1 0 e f M A B C D Nur z Prüfzwecken – Eigentum E 0 des Verlags öbv A