Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

230 Geometrische Anwendungen von Vektoren 12 924. Tei ® e die Strecke AB in vier g ® eich große Tei ® e und gib die Tei ® ungspunkte an. a) A = (‒ 2 1 ‒ 4), B = (‒ 4 1 ‒ 8) c) A = (3 1 2), B = (‒1 1 ‒ 6) e) A = (5 1 3), B = (‒1 1 ‒1) b) A = (‒1 1 ‒ 4), B = (3 1 2) d) A = (‒ 5 1 4), B = (7 1 2) f) A = (‒ 3 1 ‒ 9), B = (1 1 3) 925. Tei ® e die Strecke AB im angegebenen Verhä ® tnis und gib den Tei ® ungspunkt an. a) A = (‒ 2 1 ‒ 4), B = (‒7 1 ‒ 9), 2:3 c) A = (3 1 4), B = (11 1 ‒ 4), 3:5 e) A = (‒ 4 1 5), B = (0 1 ‒ 3), 3:1 b) A = (‒1 1 ‒ 4), B = (4 1 1), 1:4 d) A = (‒ 5 1 ‒ 2) , B = (7 1 2), 1:3 f) A = (‒1 1 ‒7), B = (0 1 3), 1:1 Einheitsvektor Mu ® tip ® iziert man einen Vektor mit 2, so ist der entstandene Vektor doppe ® t so ® ang wie der ursprüng ® iche Vektor. In vie ® en Anwendungen in der Geometrie, sucht man einen Vektor mit einer bestimmten Länge. Hierbei ist es sinnvo ®® , den Vektor zuerst auf eine Einheit (Länge 1) zu verkürzen bzw. zu ver ® ängern. Um einen Vektor auf eine Einheit zu bringen, muss man diesen durch seine Länge dividie- ren. Dadurch ändert sich weder die Richtung noch die Orientierung. In der Abbi ® dung sieht man den Vektor 0 æ a mit der Länge 5, Vie ® fache von 0 æ a, sowie den Einheitsvektor 0 æ a 0 von 0 æ a mit der Länge 1. Einheitsvektoren und normierte Vektoren Ist ein Vektor 0 æ a * R ² (≠ 0 æ 0) gegeben, dann nennt man jenen zu 0 æ a para ®® e ® en Vektor mit Länge 1 und g ® eicher Orientierung, den Einheitsvektor von 0 æ a (i. Z. 0 æ a 0 ). Es gi ® t: a 0 = 1 _ |a| · 0 æ a Einen Vektor mit der Länge 1 nennt man auch normierten Vektor. 926. Bestimme den Einheitsvektor von 0 æ a = 2 12 16 3 . Um den Einheitsvektor zu berechnen, wird zuerst die Länge von 0 æ a berechnet und der Vektor ansch ® ießend durch seine Länge dividiert. | 0 æ a| = 9 _____ 12 2 + 16 2 = 9 _____ 144 + 256 = 20  0 æ a 0 = 1 _ 20 · 2 12 16 3 = 2 0,6 0,8 3 Bei einigen Aufgaben ist die Schreibweise 1 _ 20 · 2 12 16 3 von Vortei ® . Einheitsvektor eines bereits definierten Vektors v Geogebra: Einheitsvektor(v) Beispie ® : v = (‒ 3,1) Einheitsvektor(v) = (‒ 0.95,0.32) TI-NSpire: unitV(v) Beispie ® : v ÷ = [‒ 3,1] unitV(v) = [ ‒3 · 9 __ 10 _ 10 9 __ 10 _ 10 ] 927. Bestimme den Einheitsvektor von 0 æ a. a) 0 æ a = 2 ‒ 3 4 3 b) 0 æ a = 2 2 7 3 c) 0 æ a = 2 ‒ 9 12 3 d) 0 æ a = 2 ‒ 3 ‒ 5 3 e) 0 æ a = 2 11 6 3 f) 0 æ a = 2 3 ‒ 22 3 g) 0 æ a = 2 ‒1 1 3 h) 0 æ a = 2 100 0 3 Techno ® ogie Darste ®® ung Einheitsvektor 2i37zc x y 2 4 6 8 –6 –4 –2 4 –2 0 2· a · a 1 –2 · a 3 –2 a · a 1 –5 a 0 = Merke muster techno- logie Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv