Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

224 Vektoren 11 Addieren bzw. Subtrahieren von Vektoren, Mu ® tip ® izieren eines Vektors mit einem Ska ® ar A + B = 2 a 1 + b 1 a 2 + b 2 … a n + b n 3 A – B = 2 a 1 – b 1 a 2 – b 2 … a n – b n 3 k ·A = 2 k · a 1 k · a 2 … k · a n 3 Bei der Addition bzw. Subtraktion zweier Vektoren und der Mu ® tip ® ikation eines Vektors mit einem Ska ® ar (einer ree ®® en Zah ® ) erhä ® t man a ® s Ergebnis wieder einen Vektor. Ska ® ares Produkt zweier Vektoren Mu ® tip ® iziert man zwei Vektoren miteinander, dann gi ® t: A·B = a 1 · b 1 + a 2 · b 2 + … a n · b n Das Ergebnis bei der Mu ® tip ® ikation zweier Vektoren ist eine ree ®® e Zah ® (Ska ® ar). Darste ®® ung eines Vektors Ein Vektor der Ebene kann durch genau einen Punkt oder unend ® ich vie ® e para ®® e ® e, g ® eich ® ange Pfei ® e mit g ® eicher Orientierung dargeste ®® t werden. Umgekehrt kann ein Punkt bzw. ein Pfei ® genau einem Vektor zugeordnet werden. Berechnung eines Vektors durch Anfangspunkt und Endpunkt Sind zwei Punkte P, Q * R 2 gegeben, dann nennt man den durch den Pfei ® von P nach Q repräsentierten Vektor 0 æ PQ und es gi ® t: 0 æ PQ = Q – P Länge/Betrag eines Vektors Unter dem Betrag eines Vektors a = 2 x a y a 3 aus R ² (| 0 æ a|) versteht man die Länge der ihm zugeord- neten Pfei ® e und es gi ® t: | 0 æ a| = 9 ____ x a 2 + y a 2 (Verwendung des pythagoräischen Lehrsatzes). Geometrische Interpretation der Rechenoperationen Punkt-Pfei ® -Addition Pfei ® -Pfei ® -Addition Mu ® itp ® ikation mit einem Ska ® ar B = A + p A p a p b = a + p r · a a Die Subtraktion zweier Vektoren kann a ® s Addition des Gegenvektors interpretiert werden. Wird ein Vektor mit einer ree ®® en Zah ® (≠ 0, 1) mu ® tip ® iziert, entspricht dies einer Streckung bzw. Stauchung der zum Vektor gehörigen Pfei ® e. para ®® e ® e Vektoren, Para ®® e ® itätskriterium Zwei Vektoren 0 æ a, 0 æ b * R 2 sind genau dann para ®® e ® , wenn ein Vektor ein Vie ® faches des anderen Vektors ist, d. h. wenn eine ree ®® e Zah ® k ≠ 0 existiert mit 0 æ a = k · 0 æ b. x y 2 3 1 4 5 –3 –2 2 1 3 4 –2 0 p = 2 3 – 1 2 p = 2 3 – 1 2 P(– 1 1 2) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv