Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

217 Vektoren | Geometrische Interpretation von Vektoren im R 2 881. Berechne den Umfang des gegebenen Dreiecks und überprüfe durch Zeichnung. a) A = (‒ 4 1 ‒ 5), B = (2 1 ‒ 4), C = (1 1 6) b) A = (4 1 ‒ 6), B = (3 1 2), C = (‒1 1 ‒ 2) 882. Bestimme die feh ® ende Koordinate von A so, dass der Vektor 0 æ AB die Länge 9 __ 29 besitzt. A = (‒ 3 1 r), B = (2 1 4) Zuerst wird der Vektor 0 æ AB und dessen Betrag berechnet. 0 æ AB = 2 5 4 – r 3 ¥ | 0 æ AB | = 9 ______ 5 2 + (4 – r) 2 Dieser Betrag so ®® nun 9 __ 29 Einheiten ® ang sein. 9 ______ 5 2 + (4 – r) 2 = 9 __ 29 25 + 16 – 8r + r 2 = 29 r 2 – 8r + 12 = 0 Diese G ® eichung kann mit der k ® einen Lösungsforme ® ge ® öst werden und man erhä ® t r 1 = 6 oder r 2 = 2. Die Punkte A 1 = (‒ 3 1 6) bzw. A 2 = (‒ 3 1 2) sind 9 __ 29 Einheiten von B entfernt. 883. Bestimme die feh ® ende Koordinate so, dass der Vektor die angegebene Länge ® besitzt. a) a = 2 ‒ 3 r 3 , ® = 9 __ 45 b) b = 2 k 9 3 , ® = 9 __ 181 c) c = 2 ‒ 6 c 3 , ® = 10 d) d = 2 ‒12 d 3 , ® = 13 884. Bestimme die feh ® ende Koordinate so, dass der Vektor 0 æ AB die angegebene Länge ® besitzt. a) A = (‒1 1 4), B = (2 1 s), ® = 5 d) A = (‒ 3 1 d), B = (‒7 1 ‒11), ® = 9 __ 241 b) A = (e 1 ‒ 3), B = (‒1 1 ‒ 4), ® = 9 _ 2 e) A = (2 1 5), B = (e 1 7), ® = 9 __ 13 c) A = (3 1 0), B = (1 1 c), ® = 9 __ 104 f) A = (‒ 5 1 ‒ 5), B = (‒7 1 f), ® = 9 __ 40 Aufgabe 884 a mit Techno ® ogieeinsatz ® ösen TI-Nspire so ® ve(norm([2,s]-[‒1,4]) = 5,s) 885. Zeige mit Hi ® fe der Vektorrechnung, dass ABCD ein Para ®® e ® ogramm ist. A = (‒ 4 1 1), B = (‒1 1 ‒1), C = (2 1 2), D = (‒1 1 4) Zuerst werden a ®® e Seitenvektoren und deren Länge berechnet. _ À AB = 2 3 ‒ 2 3 ; | _ À AB | = 9 __ 13 _ À BC = 2 3 3 3 ; | _ À BC | = 9 __ 18 _ À CD = 2 ‒ 3 2 3 ; | _ À CD | = 9 __ 13 _ À DA = 2 ‒ 3 ‒ 3 3 ; | _ À DA | = 9 __ 18 Da je zwei gegenüber ® iegende Seiten g ® eich ® ang sind, ® iegt entweder ein Para ®® e ® ogramm oder ein Rechteck vor. Daher müssen noch die Diagona ® en AC und BD überprüft werden. _ À AC = 2 6 1 3 ; | _ À AC | = 9 __ 37 _ À BD = 2 0 5 3 ; | _ À BC | = 5 Da die Diagona ® en nicht g ® eich ® ang sind, hande ® t es sich bei diesem Viereck um ein Para ®® e ® ogramm. 886. Zeige durch Rechnung mit Hi ® fe der Längen von Vektoren, dass das angegebene Viereck vor ® iegt. Berechne außerdem den F ® ächeninha ® t und den Umfang des gegebenen Vierecks. a) Raute, A = (‒ 2 1 1), B = (2 1 0), C = (6 1 1), D = (2 1 2) b) De ® toid, A = (4 1 4), B = (2 1 5), C = (1 1 1), D = (5 1 2) c) Rechteck, A = (‒10 1 1), B = (‒ 8 1 ‒ 3), C = (‒ 6 1 ‒ 2), D = (‒ 8 1 2) d) Quadrat, A = (‒ 3 1 1), B = (1 1 ‒1), C = (3 1 3), D = (‒1 1 5) muster techno- logie muster Nur zu Prüfzwecken 2 – Eigentum _ des Verlags öbv