Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

216 Vektoren 11 Länge eines Vektors, Betrag eines Vektors Mit Hi ® fe von Vektoren kann der Abstand zwischen zwei Punkten berechnet werden. Der Abstand zwischen diesen beiden Punkten entspricht der Länge des dazugehörigen Pfei ® s. 876. Der Abstand zweier Bojen so ®® ermitte ® t werden. Die Koordinaten der beiden Bojen A = (2 1 1), B = (6 1 4) sind in Meter gegeben. Die Koordinaten des Vektors 0 æ AB = 2 4 3 3 können ® eicht berechnet oder abge ® esen werden. Mit Hi ® fe eines rechtwink ® igen Dreiecks und des pythagoräischen Lehrsatzes kann nun die Länge des Pfei ® s und damit der Abstand der beiden Punkte (man schreibt: | 0 æ AB | oder _ AB ) berechnet werden: | 0 æ AB | = 9 ____ 3 2 + 4 2 = 5 Die beiden Bojen stehen 5m weit auseinander. Betrag eines Vektors Unter dem Betrag eines Vektors (auch Länge eines Vektors) versteht man die Länge der dazugehörigen Pfei ® e. Diese Länge kann mit Hi ® fe des Lehrsatzes des Pythagoras berechnet werden. Ist 0 æ a = 2 x a y a 3 ein Vektor aus R ², dann gi ® t für seinen Betrag/seine Länge ( | _ À a | ): | _ À a | = 9 ____ x a 2 + y a 2 877. Bestimme den Betrag des Vektors und überprüfe durch eine Zeichnung. a) 0 æ a = 2 3 ‒ 4 3 b) 0 æ a = 2 5 ‒ 2 3 c) 0 æ a = 2 ‒ 3 ‒ 6 3 d) 0 æ a = 2 ‒1 ‒ 9 3 e) 0 æ a = 2 0 ‒ 4 3 f) 0 æ a = 2 ‒ 3 7 3 Betrag eines bereits definierten Vektors v Geogebra Länge(v) Beispie ® : v = (‒ 3,1) Länge(v) = 3.16 TI-Nspire norm(v) Beispie ® : v÷= [‒ 3,1] norm(v) = 9 __ 10 878. Berechne den Abstand der angegebenen Punkte. a) A = (‒ 4 1 ‒1), B = (2 1 3) c) A = (3 1 ‒ 4), B = (‒ 2 1 ‒ 6) e) A = (2 1 3), B = (6 1 4) b) A = (3 1 2), B = (‒ 5 1 ‒ 3) d) A = (‒1 1 ‒ 2), B = (‒ 3 1 ‒ 5) f) A = (‒ 3 1 2), B = (‒ 8 1 2) 879. Gib an, we ® che der Vektoren die g ® eiche Länge besitzen. 2 3 4 3 2 1 ‒ 2 3 2 ‒ 5 1 3 2 4 3 3 2 2 1 3 2 1 5 3 2 6 8 3 2 ‒ 8 6 3 2 0 10 3 880. Beweise fo ® gende Behauptung: Ein Vektor und sein Gegenvektor haben den g ® eichen Betrag. muster x y 2 4 6 8 10 12 –2 2 4 –2 0 AB B A 3 4 Merke x y 2 4 6 8 10 12 –2 2 4 –2 0 | a | = 9 ____ x a 2 + y a 2 y a x a techno- logie Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags x x y y y y öbv