Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

211 Vektoren | Rechnen mit Vektoren 853. Auf einem Schu ® ba ®® gibt es insgesamt 511 zah ® ende Gäste. Vorverkaufskarten sind um 4€ bi ®® iger a ® s jene Karten, die erst am Ba ®® abend gekauft werden. Abendkarten kosten für Jugend ® iche 24€, für Erwachsene 32€. Insgesamt haben 304 Jugend ® iche Karten gekauft, 20 davon an der Abendkassa. Bei den Erwachsenen kauften zwei Dritte ® die Karten im Vorverkauf. Berechne die Gesamteinnahmen. Ste ®® e dafür zwei verschiedene Vektoren auf und mu ® tip ® iziere diese miteinander. 854. Überprüfe anhand der Vektoren A = (3 1 4), B = (‒ 2 1 4), C = (1 1 6), dass das Assoziativgesetz bezüg ® ich der Mu ® tip ® ikation bei Vektoren nicht gi ® t. Zu überprüfen ist, ob (A·B) · C = A· (B· C) gi ® t. Es ist ® eicht festzuste ®® en, dass man auf beiden Seiten einen Vektor erha ® ten wird, da das Produkt zweier Vektoren ein Ska ® ar ist. Mu ® tip ® iziert man diesen mit einem Vektor, erhä ® t man einen Vektor. 4 2 3 4 3 · 2 ‒ 2 4 3 5 · 2 1 6 3 = (‒ 6 + 16) · 2 1 6 3 = 10 · 2 1 6 3 = 2 10 60 3 2 3 4 3 · 4 2 ‒ 2 4 3 · 2 1 6 3 5 = 2 3 4 3 (‒ 2 + 24) = 2 3 4 3 · 22 = 2 66 88 3 Da die Ergebnisse der beiden Seiten nicht übereinstimmen, gi ® t das Assoziativgesetz der Mu ® tip ® ikation für Vektoren nicht. 855. Überprüfe anhand der Vektoren A = (‒ 2 1 ‒ 4 1 5), B = (7 1 1 1 ‒ 5), C = (‒ 9 1 ‒ 8 1 ‒7), dass das Assoziativgesetz der Mu ® tip ® ikation für Vektoren nicht gi ® t. 856. Überprüfe anhand der Vektoren A = (4 1 ‒ 2 1 ‒ 5), B = (‒ 6 1 ‒ 2 1 3), C = (2 1 ‒1 1 4), dass das Assoziativgesetz der Mu ® tip ® ikation für Vektoren nicht gi ® t. 857. Gegeben sind die Vektoren A = (3 1 ‒ 2 1 5 1 3), B = (‒ 6 1 ‒ 9 1 2 1 13), C = (5 1 ‒ 8 1 7 1 12), D = (1 1 ‒12 1 33 1 ‒ 4). Über ® ege zuerst, ob das Ergebnis ein Vektor oder ein Ska ® ar sein wird und berechne ansch ® ießend. a) A·B c) A· C + B·D e) 2 ·A + B g) A·B· C b) C ·D d) A·D – B· C f) 3 ·A – 2 ·B h) (A + B) · C 858. Überprüfe die Rechengesetze anhand der Vektoren A = (1 1 ‒ 3 1 2), B = (4 1 0 1 3) und C = (‒ 4 1 ‒ 2 1 ‒1). a) A· (B + C) = A·B + A· C c) B· (A + C) = A·B + A· C b) A· (B – C) = A·B – A· C d) C · (B – A) = B· C – A· C 859. Beweise, dass für drei Vektoren A, B, C * R 4 das Distributivgesetz gi ® t: A· (B + C) = A·B + A· C. 860. Beweise, dass für drei Vektoren A, B, C * R 3 das Distributivgesetz gi ® t: A· (B – C) = A·B – A· C. 861. Sei A ein Vektor aus R n . Dieser Vektor wird k – 1 (k * N ) ma ® mit sich se ® bst mu ® tip ® iziert. Über ® ege, ob das Ergebnis ein Vektor oder ein Ska ® ar ist. a) k = 2 c) k = 4 e) k = 12 g) k = 222 222 b) k = 3 d) k = 5 f) k = 122 221 h) k = r 862. Über ® ege, warum das üb ® iche Quadratwurze ® ziehen bei Vektoren nicht definiert ist. muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv