Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

Merke Merke 198 Trigonometrie im allgemeinen Dreieck 10 Po ® arkoordinaten Unter einem Po ® arkoordinatensystem versteht man ein zweidimensiona ® es Koordinatensytem, in dem jeder Punkt P(x 1 y) auf der Ebene durch einen Winke ® φ (in Bezug zur positiven ersten Achse) und einen Abstand r (zum Nu ®® punkt) eindeutig definiert wird. Das Koordinatenpaar (r 1 φ ) bezeichnet man a ® s Po ® arkoordinaten des Punktes P. φ wird gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Umrechnung von kartesischen Koordinaten (x 1 y) in Po ® arkoordinaten (r  1 φ ) Satz von Pythagoras: r = 9 ____ x 2 + y 2 Definition des Tangens: φ = arctan 2 y _ x 3 806. Berechne die Po ® arkoordinaten (r 1 φ ). a) (3 1 5) b) (‒ 4 1 1) c) (‒ 6 1 ‒ 3) d) (10 1 ‒ 5) Umrechnung von Po ® arkoordinaten (r  1 φ ) in kartesische Koordinaten (x 1 y) Es wird die Definition des Sinus bzw. des Cosinus im rechtwink ® igen Dreieck verwendet. x ist die Ankathete, y die Gegenkathete des Winke ® s φ . r ist die Länge der Hypotenuse. cos( φ ) = x _ r w x = r · cos( φ ) und sin( φ ) = y _ r w y = r · sin( φ ) 807. Berechne die kartesischen Koordinaten der Punkte. a) A = (5 1 60°) c) B = (10 1 100°) e) C = (11,2 1 220°) g) D = (8,25 1 315°) b) E = (17 1 0°) d) F = (4 1 90°) f) G = (8,8 1 180°) h) H = (30 1 270°) Winke ® funktionen – Vorzeichen der Winke ® funktionen in den Quadranten I, II, III und IV – Grundbeziehungen: tan( α ) = sin( α ) _ cos( α ) sin 2 ( α ) + cos 2 ( α ) = 1 Sinussatz a _ sin( α ) = b _ sin( β ) = c _ sin( γ ) Cosinussatz a 2 = b 2 + c 2 – 2 b c · cos( α ) b 2 = a 2 + c 2 – 2 a c · cos( β ) c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b · cos( γ ) Trigonometrische F ® ächenforme ® A = a · b · sin( γ ) __ 2 = a · c · sin( β ) __ 2 = b · c · sin( α ) __ 2 Kartesische Koordinaten (x 1 y) und Po ® arkoordinaten (r  1 φ ) r = 9 ____ x 2 + y 2 φ = arctan 2 y _ x 3 x = r · cos( φ ) y = r · sin( φ ) 1 –1 –1 1 0 y (x, y) x r φ r 0 φ x y 2. Achse 1. Achse (x 1 y) zusammenfassung I II III IV sin(x) + + – – cos(x) + – – + tan(x) + – + – Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv