Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

Merke 195 kompe- tenzen 10.3 Anwendungen und Po ® arkoordinaten Lernzie ® e: º Die trigonometrische F ® ächenforme ® kennen und her ® eiten können º Vermessungsaufgaben ® ösen können º Po ® arkoordinaten kennen und einsetzen können (AG-L 4.2) Grundkompetenz für die schrift ® iche Reifeprüfung: AG-R 4.2 Definitionen von Sinus und Cosinus für Winke ® größer a ® s 90° kennen und einsetzen können Trigonometrische F ® ächenforme ® Für den F ® ächeninha ® t eines Dreiecks mit den Seiten ® ängen a, b, c und den dazugehörigen Höhen h a , h b , und h c gi ® t: A = 1 _ 2 · a · h a = 1 _ 2 · b · h b = 1 _ 2 · c · h c . Durch die Höhen, z. B. h c , wird das Dreieck jewei ® s in zwei rechtwink ® ige Dreiecke untertei ® t. h c kann mit Hi ® fe der Sinusfunktion eine Winke ® s und einer Seiten ® änge ausgedrückt werden. sin( α ) = h c _ b w h c = b · sin( α ) sin( β ) = h c _ a w h c = a · sin( β ) Einsetzen in die F ® ächenforme ® : A = 1 _ 2 · c · b · sin( α ) = 1 _ 2 · c · a · sin( β ). Ana ® oge Über ® egungen können mit den anderen Höhen des Dreiecks angeste ®® t werden. Trigonometrische F ® ächenforme ® A = 1 _ 2 · b · c · sin( α ) = 1 _ 2 · a · c · sin( β ) = 1 _ 2 · a · b · sin( γ ) Der F ® ächeninha ® t eines Dreieck ist g ® eich die Hä ® fte des Produkts von zwei Seiten ® ängen und dem Sinuswert des von den Seiten eingesch ® ossenen Winke ® s. 790. Zeige die Gü ® tigkeit der trigonometrischen F ® ächenforme ® auch für das rechtwink ® ige Dreieck mit den Katheten ® ängen a = 3,4 cm und b = 5,1 cm. Verwende zuerst die bekannte Forme ® zur Berechnung des F ® ächeninha ® ts eines rechtwink ® igen Dreiecks, ansch ® ießend die trigonometrische F ® ächenforme ® . 791. Berechne den F ® ächeninha ® t des Dreiecks. a) a = 7cm, b = 5 cm, γ = 56° c) a = 7,8 cm, c = 6,6 cm, β = 78° b) b = 34,3 cm, c = 12,8 cm, α = 120° d) a = 11,2 cm, b = 21,4 cm, γ = 60° F ® ächeninha ® t des Dreiecks = Seiten ® änge ma ® die ha ® be Länge der Höhe auf die Seite 792. Berechne die Länge der Höhe. Mache eine Skizze. a) a = 10 cm, β = 110°, h c = ? b) b = 5,4 cm, γ = 67°, h a = ? c) c = 3,5 cm, α = 70°, h b = ? b c A C B a α β h c TIPP TIPP Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv