Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

Merke 193 Trigonometrie im allgemeinen Dreieck | Sinus- und Cosinussatz 782. Begründe, warum das Dreieck mit a = 10 cm, b = 6,3 cm und β = 37° nicht eindeutig konstruierbar ist. Berechne mit Hi ® fe des Sinussatzes die Strecken ® ängen und Maße der Winke ® der beiden Lösungsdreiecke. Das Dreieck ist nicht eindeutig konstruierbar, wei ® die dem Winke ® β gegenüber ® iegende Seite b kürzer ist a ® s die Seite a. Es ergeben sich ein spitz- und ein stumpfwink ® iges Dreieck. Die Umformung des Sinussatzes ® iefert das Maß des spitzen Winke ® s α 1 . Schreibe die gesuchte Größe immer in den Zäh ® er. sin( α 1 ) _ a = sin ( β) _ b w sin( α 1 ) = sin( β ) _ b · a α 1 ≈ 72,80° Da das Dreieck A 1 AC g ® eichschenk ® ig ist, ergänzen sich α 1 und α auf 180°. D. h. α = 180° – 72,80° ≈ 107,20°. Für die Winke ® des Dreiecks ABC gi ® t daher: α ≈ 107,20°, β = 37°, γ = 180° – α – β ≈ 35,80°. Durch Anwenden des Sinussatzes ® assen sich für die Dreiecke ABC und A 1 BC die Längen der noch feh ® enden Seiten c und c 1 bestimmen. c _ sin( γ ) = b _ sin( β ) É c = b _ sin( β ) · sin( γ ) c ≈ 6,1 cm c 1 _ sin( γ 1 ) = b _ sin( β ) É c 1 = b _ sin( β ) · sin( γ 1 ) c 1 ≈ 9,8 cm 783. Begründe, warum das Dreieck nicht eindeutig konstruierbar ist und berechne für beide Lösungsdreiecke die Winke ® maße und die Seiten ® ängen. Verwende den Sinussatz. a) a = 6,1 cm, b = 8,5 cm, α = 45° c) b = 3,6 cm, c = 6 cm, β = 21° b) a = 5,1 cm, c = 4,0 cm, γ = 42° d) a = 6,1 cm, b = 7,2 cm, α = 56° 784. Berechne die feh ® enden Winke ® maße und Seiten ® ängen des Dreiecks. a) a = 5,8 cm, α = 63°, γ = 76° d) b = 6,1 cm, α = 108°, γ = 39° b) a = 8,1 cm, c = 4,5 cm, γ = 30° e) a = 7,1 cm, b = 5,1 cm, α = 52° c) c = 10,3 cm, β = 29°, γ = 72° f) b = 7cm, c = 10 cm, β = 41° Der Cosinussatz Der Cosinussatz beschreibt in jedem Dreieck den Zusammenhang zwischen den Seiten ® ängen und dem Cosinuswert eines der drei Winke ® . Dabei wird stets die Seiten ® änge, die dem betrachteten Winke ® gegenüber ® iegt, durch die anderen beiden Seiten ® ängen und dem Cosinuswert des eingesch ® ossenen Winke ® s ausgedrückt. Cosinussatz a 2 = b 2 + c 2 – 2 · b · c · cos( α ) b 2 = a 2 + c 2 – 2 · a · c · cos( β ) c 2 = a 2 + b 2 – 2 · a · b · cos( γ ) Die Her ® eitung des Cosinussatzes befindet sich im Anhang Beweise (S. 268). muster γ 1 γ α β α 1 c 1 c A 1 A C B a b b β γ α c a b A B C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv