Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

192 Trigonometrie im allgemeinen Dreieck 10 Auf ® ösen von Dreiecken mit dem Sinussatz So ®® en a ®® gemeine Dreiecke aufge ® öst werden, d. h. feh ® ende Winke ® maße bzw. Seiten ® ängen berechnet werden, eignet sich der Sinussatz besonders, wenn (1) eine Seite und zwei Winke ® , (2) zwei Seiten und ein Winke ® , der einer gegebenen Seite gegenüber ® iegt, gegeben sind. 777. Gegeben ist das Dreieck ABC mit c = 8,00 cm, α = 45° cm und β = 72°. Berechne die feh ® enden Seiten ® ängen unter Verwendung des Sinussatzes. Das Dreieck ist eindeutig konstruierbar, da eine Seite und die beiden an ® iegenden Winke ® gegeben sind (Winke ® -Seiten-Winke ® -Satz). Wegen der Winke ® summe im Dreieck gi ® t: γ = 180° – α – β = 63°. Man beginnt mit der dem größten Winke ® gegenüber ® iegenden Seite: b __ sin 2 72° 3 = 8 __ sin 2 63° 3 w b = 8 __ sin 2 63° 3 · sin(72°) ≈ 8,54 cm a __ sin 2 45° 3 = 8 __ sin 2 63° 3 w a = 8 __ sin 2 63° 3 · sin(45°) ≈ 6,35 cm 778. Berechne unter Verwendung des Sinussatzes die feh ® enden Seiten des Dreiecks. a) c = 7cm, α = 81°, β = 45° b) a = 4,2 cm, β = 45°, γ = 108° c) b = 8,1 cm, α = 67°, γ = 53° 779. Begründe, warum das Dreieck eindeutig konstruierbar ist. Berechne die feh ® enden Größen. Verwende den Sinussatz. a) a = 6,7cm, b = 9,2 cm, β = 117° c) a = 7cm, b = 5 cm, α = 79° b) b = 5,1 cm, c = 8,0 cm, γ = 50° d) a = 10,8 cm, c = 9,0 cm, α = 104° 780. Betrachte das Dreieck UKW und kreuze die wahren Aussagen an.  A  B  C  D  E k _ w = sin( δ ) _ sin( γ ) w = u _ sin( γ ) · sin( ε ) sin( γ ) _ sin( δ ) = u _ k u · sin( γ ) = sin( δ ) · k w· sin( δ ) = sin( ε ) · k 781. a) Von einem Viereck ABCD kennt man die Seiten ® ängen a = _ AB = 7cm und d = _ AD = 7,1 cm. Die Länge der Diagona ® e e = _ AC = 9,4 cm. Weiters sind die Winke ® β = ¼ ABC = 101° und Winke ® δ = ¼ ADC = 69° bekannt. Berechne den Umfang des Vierecks. b) Gegeben ist das viereckige Grundstück ABCD. _ BD = 100m, _ CD = 45m, ¼ ABD = 37°, ¼ ADB = 63°, ¼ BCD = 90°. Berechne die feh ® enden Winke ® und den Umfang des Vierecks. Sind zwei Seiten und ein von diesen Seiten nicht eingesch ® ossener Winke ® gegeben, der nicht der ® ängeren Seite gegenüber ® iegt, ist das Dreieck nicht eindeutig konstruierbar. Es gibt zwei Lösungen! muster b a A B C α γ β c AG-R 4.2 δ γ ε W K U u k w Arbeitsb ® att Anwendung des Sinussatzes k4p3qy Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv