Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

Merke 191 kompe- tenzen 10.2 Sinus- und Cosinussatz Lernzie ® e: º Die Her ® eitung des Sinus- und Cosinussatzes kennen º Dreiecke mit dem Sinus- und Cosinussatz auf ® ösen können º Einfache Berechnungen an a ®® gemeinen Dreiecken, an Figuren und Körper (auch mitte ® s Sinus- und Cosinussatz) durchführen können (AG-L 4.3) Der Sinussatz In jedem Dreieck ste ®® t der sogenannte Sinussatz eine Beziehung zwischen den Sinuswerten der Winke ® und den Längen der Seiten, die den Winke ® n gegenüber ® iegen, her. Dazu wird zunächst ein spitzwink ® iges Dreieck ABC betrachtet, das durch die Höhe h c in zwei rechtwink ® ige Dreiecke getei ® t wird. In den entstandenen Dreiecken ge ® ten fo ® gende Beziehungen. Dreieck I: sin( α ) = h c _ b | · b Dreieck II: sin( β ) = h c _ a | · a b · sin( α ) = h c a · sin( β ) = h c w a · sin( β ) = b · sin( α ) | : sin( α ) a · sin( β ) __ sin( α ) = b | : sin( β ) a _ sin( α ) = b _ sin( β ) 774. Skizziere ein spitzwink ® iges Dreieck und tei ® e es durch die Höhe h a in zwei rechtwink ® ige Dreiecke. Zeige, dass gi ® t: b _ sin( β ) = c _ sin( γ ) . Sinussatz In jedem Dreieck sind die Verhä ® tnisse der Seiten ® ängen und der Sinuswerte der den Seiten gegenüber ® iegenden Winke ® stets g ® eich groß: a _ sin( α ) = b _ sin( β ) = c _ sin( γ ) Daher gi ® t auch: sin( α ) _ a = sin( β ) _ b = sin( γ ) _ c 775. Skizziere ein rechtwink ® iges Dreieck und zeige, dass der Sinussatz auch für diese Dreiecke gü ® tig ist. 776. Zeige die Gü ® tigkeit des Sinussatzes auch für stumpfwink ® ige Dreiecke. (Betrachte die Dreiecke BDC und ADC und die Winke ® α und 180° – β , sin(180°– β ) = sin( β ).) b A C B a α β h c I II b a A B C α γ β c Techno ® ogie Darste ®® ung Sinus- und Cosinussatz ih33mg b c a h c C A B D α γ β 180° – β Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv