Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

Merke 189 Trigonometrie im allgemeinen Dreieck | Winkelfunktionen für beliebige Dreiecke Trigometrische Grundbeziehungen Am Einheitskreis ® assen sich zwei wichtige trigonometrische Grundbeziehungen erkennen. Durch die Ähn ® ichkeit der Dreiecke ergibt sich fo ® gende Verhä ® tnisg ® eichung (Proportion): tan( α ) : 1 = sin( α ) : cos( α ) tan( α ) = sin( α ) _ cos( α ) Die Koordinaten ® ängen eines Punkts P auf dem Einheits- kreis bi ® den mit dem Radius r = 1 a ® s Hypotenuse ein rechtwink ® iges Dreieck. In jedem rechtwink ® igen Dreieck gi ® t der Satz von Pythagoras. (sin( α )) 2 + (cos( α )) 2 = 1 sin 2 ( α ) + cos 2 ( α ) = 1 Trigonometrische Grundbeziehungen tan( α ) = sin( α ) _ cos( α ) sin 2 ( α ) + cos 2 ( α ) = 1 769. Rechne für den Winke ® die Zusammenhänge sin 2 ( α ) + cos 2 ( α ) = 1 und tan( α ) = sin( α ) _ cos( α ) nach. a) α = 30° c) α = 180° e) α = 310° b) α = 135° d) α = 220° 770. Begründe mit dem Zusammenhang tan( α ) = sin( α ) _ cos( α ) , dass tan(90°) und tan(270°) nicht existieren. 771. Berechne sin( α ), cos( α ) bzw. tan( α ) für 0° ª α < 360°, ohne das Maß für α vorher zu bestimmen. Verwende den Zusammenhang tan( α ) = sin( α ) _ cos( α ) . a) sin( α ) = 0,28; cos( α ) = 0,96 c) tan( α ) = 0,75; cos( α ) = 0,8 b) sin( α ) = 0,352; cos( α ) = ‒ 0,936 d) tan( α ) = 9 _ 3 _ 3 ; sin( α ) = ‒ 1 _ 2 772. Berechne sin( α ) bzw. cos( α ) für 0° ª α < 360°, ohne das Maß für α vorher zu bestimmen. Verwende den Zusammenhang sin 2 ( α ) + cos 2 ( α ) = 1. a) cos( α ) = 0,2 0° < α < 90° d) sin( α ) = ‒ 0,154 180° < α < 270° b) cos( α ) = ‒ 0,35 180° < α < 270° c) sin( α ) = 0,04 90° < α < 180° c) cos( α ) = 0,15 270° < α < 360° f) sin( α ) = 0,123 0° < α < 90° 773. Zeige unter Verwendung der trigonometrischen Grundbeziehungen. a) cos( α ) = sin( α ) _ tan( α ) d) tan( α ) = sin( α ) __ 9 ___ __ 1 – sin 2 ( α ) b) sin( α ) = 9 ______ 1 – cos 2 ( α ) e) 1 + tan 2 ( α ) = 1 _ cos 2 ( α ) c) tan( α ) = 9 ______ 1 – cos 2 ( α ) __ cos( α ) f) cos( α ) = 1 __ 9 ___ __ 1 + tan 2 ( α ) 1 –1 –1 1 0 x y sin ( α) tan ( α) cos ( α) P r = 1 M α Arbeitsb ® att Anwendung der trigono- metrischen Grund- beziehungen dt894f Nur zu Prüfzwecken ( – Eigentum des Verlags ( öbv