Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

150 kompe- tenzen 8.5 Gebrochen rationa ® e Funktionen Lernzie ® e: º Funktionen vom Typ f(x) = c _ x , c * R in verschiedenen Darste ®® ungsformen beschreiben und ermitte ® n können º Die Begriffe Po ® ste ®® e, Definitions ® ücke und Asymptote kennen º Mit Funktionen vom Typ f(x) = c _ x und f(x) = c _ x 2 , c * R in anwendungsorientierten Bereichen arbeiten können Grundkompetenzen für die schrift ® iche Reifeprüfung: FA-R 3.1 Verba ® , tabe ®® arisch, graphisch oder durch eine G ® eichung (Forme ® ) gegebene Zusammenhänge der Art f(x) = c · x ‒1 (Anmerkung: f(x) = c _ x ; c * R ) erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darste ®® ungsformen wechse ® n können FA-R 1.6 Schnittpunkte zwischen Funktionsgraphen graphisch und rechnerisch ermitte ® n und im Kontext interpretieren können Funktionen, bei denen die Variab ® e x im Nenner vorkommt, heißen gebrochen rationa ® e Funktionen . Es werden zwei spezie ®® e Funktionen dieses Funktionstyps genauer betrachtet. Funktionen vom Typ f(x) = c _ x Die Eigenschaften von Funktionen vom Typ f(x) = c _ x , c * R kann man am Beispie ® der Funktion f mit f(x) = 3 _ x ana ® ysieren. Die Wertetabe ®® e zeigt, dass die Funktion f für das Argument x = 0 nicht definiert ist, da der Funk- tionswert f(0) = 1 _ 0 nicht definiert ist. Der Wert x = 0 muss aus der Defini- tionsmenge der Funktion ausgesch ® ossen werden. Damit ergibt sich a ® s maxima ® e Definitionsmenge: D = R \{0}. An der Definitions ® ücke x = 0 besitzt der Graph eine soge- nannte Po ® ste ®® e , d. h. die Funktions- werte gehen bei Annäherung an die Definitions ® ücke gegen + • oder ‒ • . Gehen hingegen die x-Werte gegen + • oder ‒ • , so gehen die Funktionswerte gegen 0. Der Graph nähert sich sowoh ® der x-Achse a ® s auch der y-Achse be ® iebig nahe an, ohne die Achsen je zu erreichen. Man sagt: die x-Achse und die y-Achse sind Asymptoten der Funktion f. Am Graphen und an der Wertetabe ®® e kann man auch erkennen, dass f(1) = 3 ist. Das entspricht genau dem Parameter c von f(x) = c _ x . Funktionen vom Typ f(x) = c _ x mit c * R – Eine Funktion vom Typ f(x) = c _ x mit c * R \{0} hat bei x = 0 eine Definitions ® ücke: D = R \{0}. – Der Graph von f heißt Hyperbe ® und hat bei x = 0 eine Po ® ste ®® e. – Die senkrechte und die waagrechte Koordinatenachse sind Asymptoten des Graphen von f. – Der Punkt P = (1 1 c) ® iegt immer auf dem Graphen von f, da f(1) = c _ 1 = c. – Wird das Vorzeichen von c gewechse ® t, wird der Graph an der x-Achse gespiege ® t. Techno ® ogie Darste ®® ung Einf ® uss von c a872v8 x f(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 – 10 –8 –6 –4 –2 0 f(1) = 3 3 –x f(x) = x f(x) ‒10 ‒ 0,3 ‒ 4 ‒ 0,75 ‒ 3 ‒1 ‒ 2 ‒1,5 ‒1 ‒ 3 ‒ 0,5 ‒ 6 ‒ 0,1 ‒ 30 0 nicht def. 0,1 30 0,5 6 1 3 2 1,5 Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv