Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

146 Nichtlineare Funktionen 8 Quadratische G ® eichungen graphisch ® ösen Graphisches Lösen einer quadratischen G ® eichung Da man jede quadratische G ® eichung auf die Form ax 2 + bx + c = 0 bringen kann, entsprechen die Lösungen der quadratischen G ® eichung den Nu ®® ste ®® en der Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c. 588. Bestimme graphisch die Lösungen der quadratischen G ® eichung 2 x 2 – 3 x – 3 = x 2 – 2 x + 3. 1. Mög ® ichkeit: Nu ®® ste ®® enmethode Man bringt die G ® eichung auf die Form x 2 – x – 6 = 0 und ® iest am Graphen von f mit f(x) = x 2 – x – 6 die Nu ®® ste ®® en ab. Nu ®® ste ®® en: x 1 = ‒ 2 und x 2 = 3 A ® so ® autet die Lösungsmenge der G ® eichung L = {‒ 2; 3}. 2. Mög ® ichkeit: Schnittpunktmethode Man zeichnet die Graphen der Funktionen, die sich aus dem ® inken und dem rechten G ® eichungsterm ergeben in ein Koordinatensystem. Die x-Werte der Schnittpunkte entsprechen den Lösungen der G ® eichung. f(x) = 2 x 2 – 3 x – 3 g(x) = x 2 – 2 x + 3 S 1 = (‒ 2 1 11); S 2 = (3 1 6) L = {‒ 2; 3} 589. Bestimme graphisch auf zwei verschiedene Arten die Lösungen der G ® eichung. a) 2 x 2 – 4 x – 6 = 0 b) 5 x 2 + 3 x – 1 = 4 x 2 – 6 x – 1 c) x 2 = x 590. Beurtei ® e, we ® che Vor- und Nachtei ® e rechnerische und graphische Lösungsmethoden haben. Linearfaktorform Eine weitere Darste ®® ung von quadratischen Funktionen erhä ® t man, wenn man den dritten Tei ® der Satzgruppe von Vieta (S. 79) berücksichtigt. Linearfaktorform einer quadratischen Funktion Sind x 1 und x 2 Lösungen der quadratischen G ® eichung a x 2 + b x + c = 0, so kann man die quadratische Funktion f mit f(x) = a x 2 + b x + c auf fo ® gende Form bringen: f(x) = a · (x – x 1 ) · (x – x 2 ) 591. Ste ®® e die quadratische Funktion f mit f(x) = 3 x 2 – 12 x + 12 in Linearfaktorform dar. Zuerst bestimmt man die Nu ®® ste ®® en von f: 3 x 2 – 12 x + 12 = 0 w x 2 – 4 x + 4 = 0 w x 1 = 2 und x 2 = 2 Da a = 3 ® autet die Linearfaktorform von f: f(x) = 3(x – 2 )(x – 2 ) = 3 (x – 2) 2 592. Bringe die Funktionsg ® eichung auf Linearfaktorform. a) f(x) = 2 x 2 – 4 x – 6 b) f(x) = 3 x 2 + 3 x c) f(x) = x 2 + 9 x Merke muster x f(x) 2 4 6 8 –8 –6 –4 –2 2 –6 –4 –2 0 f(x) = x 2 – x – 6 N 1 ( – 2 1 0) N 2 (3 1 0) x y 1 2 3 4 5 –3 –2 – 1 4 8 16 0 f(x) = 2x 2 – 3x – 3 g(x) = x 2 – 2x + 3 S 1 ( – 2 1 11) S 2 (3 1 6) Merke muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv