Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

143 Nichtlineare Funktionen | Variation der Parameter von f(x) = a(x – m)² + n Quadratische Funktionen der Form f(x) = a(x – m) 2 + n und f(x) = a x 2 + b x + c Nun wird betrachtet, wie sich die Parameter a, n und m gemeinsam auf den Graphen der Norma ® parabe ® auswirken. Dazu fügt man zum Funktionsterm f(x) = x 2 schrittweise die drei Parameter hinzu und betrachtet die Veränderung des Funktionsgraphen. f(x) = x 2 a = 1; m = 0; n = 0 f 1 (x) = 3 x 2 a = 3; m = 0; n = 0 f 2 (x) = 3 x 2 – 1 a = 3; m = 0; n = ‒1 f 3 (x) = 3(x + 2) 2 – 1 a = 3; m = ‒ 2; n = ‒1 Da man aus f 3 (x) in der gegebenen Form sehr ® eicht die Koordinaten des Scheite ® s der Parabe ® ab ® esen kann – f 3 (x) = 3(x‒ ( ‒ 2 )) 2 – 1 w S = (‒ 2 1 ‒1) –, nennt man diese Form auch die Scheite ® punktform der Parabe ® g ® eichung. Durch Ausrechnen des Funktionsterms erhä ® t man f 3 (x) in der Hauptform der Parabe ® g ® eichung. f 3 (x) = 3(x + 2) 2 – 1 ¥ f 3 (x) = 3(x 2 + 4 x + 4) – 1 ¥ f 3 (x) = 3 x 2 + 12 x + 11 (Hauptform) Scheite ® punktform und Hauptform einer quadratischen Funktion Scheite ® punktform: f(x) = a(x – m) 2 + n Hauptform: f(x) = a x 2 + b x + c Graph der quadratischen Funktion f mit f(x) = a(x – m) 2 + n Den Graphen der quadratischen Funktion f(x) = a(x – m) 2 + n erhä ® t man, wenn man – den Graphen der Norma ® parabe ® (f(x) = x 2 ) um den Parameter a streckt oder staucht, – um n Einheiten ent ® ang der senkrechten Achse verschiebt und – um m Einheiten ent ® ang der waagrechten Koordinatenachse verschiebt. Scheite ® punkt: S = (m 1 n) 574. Bestimme die Funktionsg ® eichung der abgebi ® deten Funktionen. 575. Lies die Werte der Parameter a, m und n der Funktion f mit f(x) = a(x – m) 2 + n aus der Funktionsg ® eichung ab. Fertige eine Skizze des Graphen an. Bestimme die Wertemenge W von f. a) f(x) = (x + 1) 2 c) f(x) = ‒ 3(x – 2) 2 – 3 b) f(x) = ‒ x 2 d) f(x) = ‒ (x 2 – 1) + 2 Techno ® ogie Darste ®® ung Einf ® uss von a, m und n gp53dy x y 1 2 –2 – 1 1 2 3 – 1 0 f(x) = x 2 a = 1 x y 1 2 –2 – 1 1 2 3 – 1 0 f(x) = x 2 f 1 (x) = 3x 2 a = 1 a = 3 x y 1 2 –2 – 1 1 2 3 0 f 1 (x) = 3x 2 f 2 (x) = 3x 2 – 1 n = – 1 x y 1 1 2 3 – 1 0 m = – 2 f 3 (x) = 3(x + 2) 2 – 1 f 2 (x) = 3x 2 – 1 Merke Techno ® ogie Übung Parameter a, m und n bestimmen m58c55 x y 2 4 6 8 –8 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f h q p g r Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv