Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Schulbuch

116 Lineare Funktionen 7 Erweitertes Steigungsdreieck Der Wert der Steigung k einer ® inearen Funktion kann am Graphen aus jedem be ® iebigen Steigungs- dreieck durch das Verhä ® tnis von senkrechter zu waagrechter Seite ermitte ® t werden. Z. B. gi ® t im nebenstehenden Graphen: k = k _ 1 = 2 k _ 2 = 3 k _ 3 = 5 k _ 5 = 2. Aus der Wertetabe ®® e einer ® inearen Funktion kann man die Steigung k ermitte ® n, indem man die Koordinaten zweier Punkte ab ® iest und k a ® s Quotient aus der Differenz der y-Werte und Differenz der x-Werte bestimmt. P = (1 1 5); Q = (4 1 11) k = 11 – 5 _ 4 – 1 = 6 _ 3 = 2 Die Steigung k einer ® inearen Funktion Sind P = (x P 1 y P ) und Q = (x Q 1 y Q ) die Koordinaten zweier Punkte auf einer Geraden, so gi ® t für die Steigung: k = Δ y _ Δ x = y Q – y P _ x Q – x P ( Differenzenquotient ). Ist k positiv (k > 0), so heißt der Graph steigend . Ist k negativ (k < 0), so heißt der Graph fa ®® end . Ist k g ® eich Nu ®® (k = 0), so ist der Graph para ®® e ® zur x-Achse (waagrecht) und f heißt konstante Funktion. 479. Bestimme die Funktions- a) b) g ® eichung der ® inearen Funktion f mit f(x) = k x + d aus der gegebenen Darste ®® ung. a) Man zeichnet zunächst ein ® eicht abzu ® esendes Steigungs- dreieck ein und bestimmt daraus den Wert von k: k = 50 _ 100 = 0,5. Den y-Achsenabschnitt d kann man direkt ab ® esen: d = 50 w f(x) = 0,5 x + 50 b) k = y Q – y P _ x Q – x P = 175 – 25 __ 100 – ( ‒100) = 150 _ 200 = 3 _ 4 ; d berechnet man, indem man k und die Koordinaten eines Punktes in f(x) = k x + d einsetzt: 175 = 3 _ 4 ·100 + d w d = 100 w f(x) = 3 _ 4 x + 100 x 2 4 6 8 10 12 –4 2 4 6 8 10 –4 0 1 1 2 3 5 3k 2k 5k k f(x) = 2x + 3 f(x) k = 2 x f(x) 1 5 4 11 x 2 4 6 8 10 12 –4 2 4 6 8 10 0 f(x) Δ y = 11 – 5 = 6 Δ x = 4 – 1 = 3 f(x) = 2x + 3 P = ( 1 1 5) Q = ( 4 1 11) k = Δ y _ Δ x = 6 _ 3 = 2 x f(x) Δ x = x Q – x P Δ y = y Q – y P f P = (x P 1 y P ) Q = (x Q 1 y Q ) k = Δ y _ Δ x Merke x f(x) 0 P = (– 100 1 25) f Q = ( 100 1 175) x f(x) 100 200 –200 – 100 100 0 f muster x f(x) 200 –200 – 100 100 – 100 0 f 50 100 d = 50 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv