Malle Mathematik verstehen 8, GeoGebra, Technologietraining

45 8 Vernetzte Systeme und deren Entwicklung Grundkompetenzen Inhaltsbereich „Analysis“ „„ Das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten können Rekursives Gleichungssystem T 8.01 Untersuchen eines Räuber-Beute-Modells Durch das folgende System von Rekursionsgleichungen wird eine Räuber-Beute-Beziehung zwischen Schneehasen und Luchsen beschrieben. H(n) steht dabei für die Anzahl der Hasen zum Zeitpunkt n, L(n) für die Anzahl der Luchse zu diesem Zeitpunkt: H(n + 1) = a·H(n) – b·H(n) · L(n) L(n + 1) = c · L(n) + d·H(n) · L(n) Gib dieses Modell in die Tabellenkalkulation ein! Wähle dazu H(0) = 100, L(0) = 30, a = 1,05, b = 0,002, c = 0,94 und d = 0,001! Berechne H(n) und L(n) für die Zeitpunkte n = 1, 2, 3, …, 300 und stelle die  Ergebnisse in einem Zeit-Anzahl-Diagramm graphisch dar! Beschrifte die Achsen entsprechend! Lösung: Öffne die Tabellenkalkulation, das Algebra- und das Grafikfenster! Im Grafikfenster erkennt man den typischen Verlauf eines Räuber-Beute-Systems. Die Maxima in den Bestandszahlen der Luchse hinken jenen der Hasen hinterher. Erkläre inhaltlich, warum das so ist! Grafik: Beschrifte die beiden Graphen entsprechend! 1 2 3 4 5 6 Algebra: Färbe die im Algebrafenster angezeigten Punkte rot ein! 1 2 3 4 5 6 Tabelle/Werkzeugleiste: Übertrage die For- meln durch Hinunterziehen bis zur Zeile 301! Markiere die Spalten A und B und betätige das Werkzeug „Liste von Punkten“ ! 1 2 3 4 5 6 Tabelle: Gib =A1 + 1 in die Zelle A2,  =1.05*B1‒0.002*B1*C1  in B2 und =0.94*C1 + 0.001*B1*C1 in C2 ein! 1 2 3 4 5 6 Tabelle/Werkzeugleiste: Markiere nun die Spalten A und C und erzeuge auch hier eine Liste von Punkten! 1 2 3 4 5 6 Tabelle: Gib den Zeitpunkt 0 in die Zelle A1, den Startwert für die Hasen 100 in B1 und den Start- wert für die Luch- se 30 in C1 ein! 1 2 3 4 5 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv