Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

96 5 Die Normalverteilung Ermitteln von Intervallen bei vorgegebener Wahrscheinlichkeit 5.79 Bei einem Spielautomaten gewinnt man mit der Wahrscheinlichkeit 0,4. Der Automat wird 1 000-mal betätigt. Ermittle ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert, in dem die Anzahl der Gewinne mit der Wahrscheinlichkeit 0,9 liegt! Lösung: „� Es sei G die Anzahl der Gewinne bei 1 000-maliger Betätigung des Automaten. Die Zufallsvariable G ist binomialverteilt mit n = 1 000 und p = 0,4. „� Überprüfen der Faustregel: n · p · (1 – p) = 1 000 · 0,4 · 0,6 > 9 „� Binomialverteilung von G näherungsweise durch eine Normalverteilung mit μ = n · p = 1 000 · 0,4 = 400 und σ = ​ 9 _______ n · p · (1 – p)​= ​ 9 ________ 1 000 · 0,4 · 0,6​≈ 15,49 ersetzen. „� Wir erhalten: P(μ – z · σ ª G ª μ + z · σ ) = 2 · Φ (z) – 1 = 0,9  w Φ (z) = 0,95  w  z ≈ 1,645 μ – z · σ ≈ 400 – 1,645 · σ ≈ 374,5; μ + z · σ ≈ 400 + 1,645 · σ ≈ 425,5 Die Gewinnanzahl liegt mit der Wahrscheinlichkeit 0,9 ungefähr im Intervall [374; 426]. Aufgaben Grundkompetenzen 5.80 Eine Münze wird 1 000-mal geworfen. Ermittle ein symmetrisches Intervall um den Erwartungs- wert, in dem die Anzahl von „Kopf“ in 75% aller Wurfserien liegt! 5.81 Ein Würfel wird 1 000-mal geworfen. Ermittle ein symmetrisches Intervall um den Erwartungs- wert, in dem die Anzahl der Sechser in 80% aller Wurfserien liegt! 5.82 Ein Würfel wird 2000-mal geworfen. Welche Anzahl von Sechsern wird in 90% aller Wurfserien a) nicht überschritten,  b) nicht unterschritten? 5.83 In einer Urne sind 30 weiße und 70 schwarze Kugeln. Es wird 500-mal blind eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Welche Anzahl an erhaltenen weißen Kugeln wird dabei von 25% der Zugserien  a) nicht überschritten,  b) nicht unterschritten? 5.84 Jemand setzt beim Roulette 740-mal immer auf seine Glückszahl 27. 1) Wie viele Gewinne sind dabei zu erwarten? Wie groß ist die Standardabweichung? 2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man dabei mindestens 15 Spiele gewinnt? 3) Welche Anzahl an Gewinnen wird von 75% aller Spielserien nicht unterschritten? 5.85 Von 10000 Losen sind 500 Gewinnlose. Es werden 300 Lose gezogen. 1) Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung der Anzahl der Gewinnlose! 2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man dabei mindestens 10 Gewinnlose erhält? 3) Gib ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert an, in dem die Anzahl der Gewinnlose mit der Wahrscheinlichkeit 0,75 liegt! 5.86 Bei einem Produktionsprozess werden erfahrungsgemäß 8% Ausschussstücke produziert. Zur Kontrolle werden täglich 400 produzierte Stücke zufällig ausgewählt. 1) Wie viele Ausschussstücke sind dabei zu erwarten? 2) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man mindestens 50 Ausschussstücke? 3) Gib ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert an, in dem die Anzahl der fehlerfreien Stücken mit der Wahrscheinlichkeit 0,75 liegt! Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv