Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

95 5.4 Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Dieser Satz ist nicht sehr genau formuliert, weil nicht klar ist, was „genügend groß“ und „näherungsweise“ bedeuten soll. Für die Praxis reicht jedoch diese lockere Formulierung aus. Die folgende Faustregel hat sich als brauchbar herausgestellt: Faustregel Eine Binomialverteilung darf näherungsweise durch eine Normalverteilung ersetzt werden, wenn gilt: n · p · (1 – p) > 9 Wir können nun die eingangs gestellte Aufgabe lösen: 5.72 Eine Münze wird 1 000-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 520-mal „Zahl“ kommt? Lösung: „� Die absolute Häufigkeit H für „Zahl“ bei 1000 Würfen ist binomialverteilt mit n = 1000 und p = 0,5. „� Überprüfen der Faustregel: n · p · (1 – p) = 1 000 · 0,5 · 0,5 = 250 > 9 „� Binomialverteilung von H näherungsweise durch eine Normalverteilung mit μ = 1 000 · 0,5 = 500 und σ = ​ 9 ________ 1 000 · 0,5 · 0,5​≈ 15,81 ersetzen. [ σ abspeichern!] „� Wir erhalten: P(H ª 520) ≈ Φ ​ 2  ​  520 – 500 __ σ  ​  3 ​ ≈ Φ (1,26) ≈ 0,90 Aufgaben Grundkompetenzen 5.73 Eine Münze wird 500-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  a) mindestens 230-mal „Zahl“ kommt,  b) höchstens 270-mal „Zahl“ kommt,  c) mindestes 230-mal und höchstens 270-mal „Zahl“ kommt? 5.74 Ein Würfel wird 1 000-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sechser a) mindestens 180-mal kommt,  b) höchstens 150-mal kommt,  c) mindestens 160-mal und höchstens 170-mal kommt? 5.75 Ein Glücksrad ist in drei gleich große Sektoren A, B und C geteilt. Man gewinnt nur im Sektor A. Das Glücksrad wird 800-mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man  a) mindestens 300-mal gewinnt,  b) höchstens 250-mal gewinnt,  c) mindestens 250-mal und höchstens 270-mal gewinnt? 5.76 Bei einem Spielautomaten gewinnt man mit der Wahrscheinlichkeit 0,4. Wie groß ist die Wahr- scheinlichkeit, dass man bei 600-maliger Betätigung des Automaten  a) mindestens 230-mal, b) höchstens 250-mal,  c) mindestens 230-mal und höchstens 250-mal gewinnt? 5.77 Jemand setzt beim Roulette immer auf Manque (1, 2, 3, …, 18). Das Rouletterad wird  1) 4-mal, 2) 400-mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei mindestens der Hälfte der Drehungen zu gewinnen? 5.78 In einer Urne sind 1 000 Kugeln, von denen 550 schwarz und 450 weiß sind. Es werden  1) drei Kugeln,  2) 300 Kugeln blind gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dabei mindestens so viele schwarze wie weiße Kugeln zu erhalten? Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv