Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

94 5 Die Normalverteilung Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung 5.71 Eine Münze wird 1 000-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 520-mal „Zahl“ kommt? Lösung: Die absolute Häufigkeit H für „Zahl“ bei 1 000 Würfen ist binomialverteilt mit n = 1 000 und p = 0,5. Tabellen für die Binomialverteilung werden jedoch in statistischen Tafelwerken nicht bis zu einem so großen n abgedruckt, da dies zu umfangreich wäre. Wir verwenden daher zur Berechnung von P(H ª 520) die Formel für die Binomialverteilung: P(H ª 520) = P(H = 0) + P(H = 1) + … + P(H = 520) = = ​ 2  ​ 1 000  0 ​ 3 ​· 0,​5​ 0 ​· 0,​5​ 1000 ​+ ​ 2  ​ 1 000  1 ​  3 ​· 0,​5​ 1 ​· 0,​5​ 999 ​+ … + ​ 2  ​ 1 000  520 ​  3 ​· 0,​5​ 520 ​· 0,​5​ 480 ​ Diese Berechnung wäre zwar prinzipiell möglich, aber ohne Computer ungeheuer mühsam. Im Folgenden überlegen wir uns eine Methode, mit der man die gestellte Frage auch ohne Computer beantworten kann, wenngleich nur näherungsweise. In den folgenden Abbildungen sind verschiedene Binomialverteilungen dargestellt. Diese sind nicht – wie bisher üblich – durch Stabdiagramme, sondern durch Histogramme dargestellt. Dabei werden auf der Zahlengeraden Intervalle (Klassen) der Breite 1 gezeichnet, deren Mittel- punkte den ganzen Zahlen entsprechen. Über jedem Intervall mit dem Mittelpunkt k wird ein Rechteck gezeichnet, dessen Flächeninhalt gleich der Wahrscheinlichkeit P(H = k) ist. n = 50, p = 0,5, μ = 25, σ = 3,54: n = 100, p = 0,5, μ = 50, σ = 5: n = 50, p = 0,3, μ = 15, σ = 3,24: n = 100, p = 0,3, μ = 30, σ = 4,58: In jede Abbildung wurde die Dichtefunktion einer Normalverteilung mit den Parametern μ = n · p und σ = ​ 9 _______ n · p · (1 – p)​eingezeichnet. Die Abbildungen lassen vermuten, dass man in jedem Fall die „Treppenfunktion“ durch eine stetige Kurve annähern kann, die die Form einer Gauß’schen Glockenkurve hat. Wir vermuten also: Satz Grenzwertsatz von DeMOIVRE und LAPLACE (in lockerer Formulierung): Ist n genügend groß, dann kann eine Binomialverteilung mit den Parametern n und p näherungsweise durch eine Normalverteilung mit den Parametern μ = n · p und σ = ​ 9 _______ n · p · (1 – p)​ersetzt werden. Ó h7ek9g 0,1 15 13 20 25 30 35 O P(H = k) k μ – σ μ + σ μ 0,1 35 40 45 50 55 60 65 O P(H = k) k μ – σ μ + σ μ 0,1 5 10 20 25 O P(H = k) k μ – σ μ + σ μ 15 0,1 15 20 25 30 35 40 45 O P(H = k) k μ – σ μ + σ μ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv