Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

93 Φ (–z) 1 – Φ (z) z –z 0 x 5.4 Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Wiederholung: Die Binomialverteilung Die Binomialverteilung haben wir in Mathematik verstehen 7 (Seite 208– 217) ausführlich besprochen. Wir wiederholen die wichtigsten Eigenschaften dieser Verteilung. Bei einem Zufallsversuch trete ein Ereignis E mit der Wahrscheinlichkeit p ein. Der Versuch werde n-mal unter den gleichen Bedingungen durchgeführt. Ist H die Anzahl der Versuche, bei denen E eintritt, dann gilt: P(H = k) = 2   n  k   3 ·p k · (1 – p) n – k Durch diese Formel ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen H festgelegt, die man als Binomialverteilung mit den Parametern n und p bezeichnet. Die Zufallsvariable H nennt man binomialverteilt mit den Parametern n und p . Eine solche Verteilung kann durch eine Tabelle oder ein Stabdiagramm darge- stellt werden. Ein Beispiel findet man in nebenstehender Abbildung. Wahrscheinlichkeiten der Form P(H = k), P(H ª k) oder P(H º k) können auch anhand der Tabellen auf den Seiten 267– 268 oder mit dem Computerprogramm BINOMIALVERTEILUNG (auf www.oebv.at abrufbar) ermittelt werden. Ist H eine binomialverteilte Zufallsvariable, dann gilt für ihren Erwartungswert μ und ihre Standardabweichung σ : μ = n · p, σ =  9 _______ n · p · (1 – p) 5.67 Eine Münze wird 20-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 8-mal „Zahl“ kommt? Lösung: Die absolute Häufigkeit H für „Zahl“ bei 20 Würfen ist binomialverteilt mit n = 20 und p = 0,5. Der Tabelle auf Seite 268 entnimmt man: P(H ª 8) ≈ 0,252 Aufgaben Grundkompetenzen 5.68 Ein Würfel wird 10-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) genau zwei Sechser, b) mindestens zwei Sechser, c) höchstens zwei Sechser kommen? 5.69 Bei einem Spielautomaten gewinnt man mit der Wahrscheinlichkeit 0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei zehn Spielen a) nie, b) immer, c) genau fünfmal, d) mindestens fünfmal, e) höchstens fünfmal gewinnt? 5.70 In einer Urne sind zwei weiße und 13 schwarze Kugeln. Es wird 20-mal eine Kugel mit Zurück- legen gezogen. Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung für die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln! 0 0,1 0,2 0,3 0,4 1 2 3 4 5 6 7 P(H = k) k Ó zh3k9c Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv