Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

91 5.3 Wahrscheinlichkeiten in Intervallen 5.55 Der Hersteller von Batterien des Typs Eterna behauptet, dass nur 2% der produzierten Batterien eine Haltbarkeitsdauer von 270 Betriebs- stunden oder weniger aufweisen. Wie groß ist die mittlere Haltbar- keitsdauer von Batterien dieses Typs, wenn man annimmt, dass der Hersteller Recht hat und die Haltbarkeitsdauer von Eterna -Battereien normalverteilt mit σ = 15h ist? 5.56 Von Tintenrollern des Typs LongRun gibt der Hersteller an, dass 97% der produzierten LongRun -Tintenroller eine Schreibleistung von mindestens 2450m besitzen. Wie groß ist die mittlere Schreibleistung eines LongRun -Tintenrollers, wenn man voraussetzt, dass die Angaben des Hersteller zutreffen und die Schreibleistung normalverteilt mit σ = 375m ist? 5.57 Eine Maschine füllt Waschmittelpakete so, dass die Masse des eingefüllten Waschmittels annähernd normalverteilt mit μ = 520 und σ = 15 ist (Angaben in Gramm). Auf den Paketen steht „Füllgewicht 500g“. a) Beantworte folgende Kundenfrage: Wie viel Prozent der Pakete wiegen mindestens 530g? b) Beantworte folgende Produzentenfrage: Mit welchem Erwartungswert μ (bei σ = 15g) müsste die Maschine arbeiten, damit nur 2% der Pakete weniger als 500g wiegen? 5.58 Vom Autohersteller ÖkoAuto wurde das neue Kleinwagenmodell Futura entwickelt. ÖkoAuto gibt an, dass der Treibstoffverbrauch von Futura auf Überlandstrecken annähernd normalverteilt mit μ = 4,8 und σ = 0,4 ist (Angaben in Liter/100 km). a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf einer Überlandfahrt mit dem Modell Futura der Treibstoffverbrauch mindestens 5,4 ® /100 km beträgt? b) Welcher Treibstoffverbrauch wird voraussichtlich nur bei 2% aller Überlandfahrten erreicht oder überschritten? c) Bei welchem Erwartungswert μ (und gleichem σ ) würde nur bei 1% aller Überlandfahrten der Treibstoffverbrauch mindestens 5,4 ® /100 km betragen? Ermitteln von σ bei vorgegebener Wahrscheinlichkeit 5.59 Eine Maschine erzeugt Metallscheiben mit dem Soll-Durchmesser 75mm, wobei der Durch- messer D als annähernd normalverteilt mit μ = 75mm angesehen werden kann. Nur Scheiben mit einem Durchmesser im Bereich von 74,7mm bis 75,3mm werden weiterverwendet. Wie groß darf die Standardabweichung σ von D höchstens sein, damit 98% der produzierten Scheiben weiterverwendet werden können? Lösung: „� D ist annähernd normalverteilt mit μ = 75 und unbekanntem σ . „� Intervall für die Durchmesser weiterverwendbarer Scheiben anschreiben: D * [74,7; 75,3] = [ μ – z · σ ; μ + z · σ ] „� Laut Angabe muss gelten: P( μ – z · σ ª D ª μ + z · σ ) = 0,98 „� z bestimmen: 2 · Φ (z) – 1 = 0,98  w Φ (z) = 0,99  w  z ≈ 2,33 (laut Tabelle auf Seite 269) „� σ berechnen: μ + z · σ = 75,3  w σ = ​  75,3 – μ  _  z  ​= ​  0,3 _  2,33 ​≈ 0,12 (Abrunden!) Für σ ≈ 0,12 liegen 98% der Durchmesser aller produzierten Scheiben im Intervall [74,7; 75,3]. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv