Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

90 5 Die Normalverteilung 5.51 Die Klasse 8b plant ihre Maturareise und will im Juni eine Woche in einem Ferienort am Meer verbringen. Sie hat erfahren, dass die Wassertemperatur an Junitagen in ihrem Urlaubsort annähernd normalverteilt mit μ = 18 und σ = 1,5 ist (Angaben in Grad Celsius). a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Wassertemperatur am Tag der Ankunft mindestens 21 °C betragen? b) Die Klasse beschließt, am Tag der Ankunft nicht ins Wasser zu gehen, falls die Wassertemperatur unter 16 °C liegt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dies der Fall sein? c) Gib ein symmetrisches Intervall um μ an, in dem die Wassertemperatur am Tag der Ankunft gerade mit der Wahrscheinlichkeit 0,9 liegt! d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Wassertemperatur am Tag der Ankunft um mindestens 2 °C von μ abweichen? Ermitteln von μ bei vorgegebener Wahrscheinlichkeit 5.52 Eine Maschine soll Flaschen mit 0,75 ® Wein abfüllen. Dabei ist der tatsächliche Flascheninhalt F nach der Füllung als annähernd normalverteilt mit σ = 0,01 ® anzusehen. Um Beschwerden wegen zu geringen Inhalts aus dem Weg zu gehen, beschließt die Firmen- leitung, pro Flasche etwas mehr als 0,75 ® abzufüllen. Wie viel Wein muss die Maschine im Mittel pro Flasche abfüllen, wenn nur 2% aller Flaschen weniger als 0,75 ® enthalten dürfen? Lösung: „� F ist annähernd normalverteilt mit unbekanntem μ und σ = 0,01. „� Laut Angabe muss gelten: P(F < 0,75) = P(F ª 0,75) = 0,02 „� z-Wert zu 0,75 ermitteln: Φ (z) = 0,02  w  z ≈ –2,05 (laut Tabelle auf Seite 269) „� μ berechnen: μ + z · σ = 0,75  w μ = 0,75 – z · σ ≈    ≈ 0,75 – (– 2,05) · 0,01 ≈ 0,77 Die Maschine muss im Mittel ca. 0,77 ® pro Flasche abfüllen. Aufgaben Grundkompetenzen 5.53 Firma FruchtGarten füllt Himbeersirup in Flaschen ab, die 0,7 ® enthalten sollen. Aufgrund der automatischen Abfüllung schwankt der Flascheninhalt jedoch, wobei man annehmen kann, dass dieser annähernd normalverteilt mit der Standard- abweichung σ = 0,05 ® ist. Welchen Erwartungswert μ muss der Abfüllprozess aufweisen, damit nur 1% der Flaschen weniger als 0,7 ® enthält? 5.54 Der Lebensmittelproduzent Nuts&Co füllt auf einer Produktionsanlage Erdnüsse in Dosen ab, die jeweils 500g enthalten sollen. Man kann davon ausgehen, dass die Füllmasse M annähernd normalverteilt mit σ = 2g ist. Nuts&Co möchte erreichen, dass höchstens 5% der Dosen weniger als 500g enthalten. Mit welchem Erwartungswert μ muss die Anlage dazu arbeiten? 0,75 μ 0 z 2% Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv