Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

88 5 Die Normalverteilung 5.41 Die Firma Lanterna produziert Zündhölzer, deren Länge L annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 5 und der Standardabweichung σ = 0,1 ist (Angaben in Zentimeter). 1) Welche Länge c wird von 90% der erzeugten Zündhölzer nicht unterschritten? 2) Die Qualitätskontrolle von Lanterna stellt fest, dass durch die Dauerbeanspruchung der Maschinen der Erwartungswert der Zündholzlängen von μ = 5 auf μ = 4,9gesunken ist, σ aber gleichgeblieben ist! Beantworte die unter 1) gestellte Frage auf Grund der neuen Daten! 5.42 PharmaZeut stellt auf zwei Maschinen Kapseln des Medikaments SimulStatin her, wobei die Masse des Kapselinhalts jeweils annähernd normalverteilt ist. Die erste Maschine arbeitet mit μ 1 = 1,80 und σ = 0,05, die zweite mit μ 2 = 1,85 und gleicher Standardabweichung wie bei der ersten Maschine (Angaben in Zentigramm). 1) Gib eine Masse c des Kapselinhaltes an, die von 5% der von der ersten Maschine produzierten Kapseln nicht unterschritten wird! 2) Wie viel Prozent der von der zweiten Maschine produzierten Kapseln erhalten mindestens die in 1) errechnete Masse? 5.43 Die Körpergrößen in einer Stichprobe von 700 sechsmonatigen Säuglingen verteilen sich wie in der folgenden Tabelle: Körpergröße in cm 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 absolute Häufigkeit 25 35 52 84 120 135 100 61 41 33 14 1) Berechne den Mittelwert ​ _ x​und die empirische Standardabweichung s der Körpergrößen! 2) Berechne unter der Annahme, dass die Körpergröße sechsmonatiger Säuglinge normal- verteilt mit μ = ​ _ x​und σ = s ist, wie viel Prozent der sechsmonatigen Säuglinge mindestens 70 cm groß sind! 3) Berechne unter derselben Annahme, wie viel Prozent der sechsmonatigen Säuglinge höchstens 65 cm groß sind! 4) Gib unter derselben Annahme die Körpergröße an, die von 20% der sechsmonatigen Säuglinge erreicht oder überschritten wird! 5) Gib unter derselben Annahme die Körpergröße an, die nur von 25% der sechsmonatigen Säuglinge nicht überschritten wird! Ermitteln von symmetrischen Intervallen um μ zu vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten 5.44 Bei einer Produktion von Stahlkugeln für Kugellager ist der Kugel- durchmesser D annähernd normalverteilt mit den Parametern μ = 4 und σ = 0,2 (Angaben in mm). Ermittle ein symmetrisches Intervall um μ , in dem 80% der Durchmesser aller produzierten Kugeln liegen! Lösung: „� gesuchtes Intervall anschreiben: [ μ – z · σ ; μ + z · σ ] „� Laut Angabe muss gelten: P( μ – z · σ ª D ª μ + z · σ ) = 0,8 „� z ermitteln: 2 · Φ (z) – 1 = 0,8  w Φ (z) = 0,9  w  z ≈ 1,28 (laut Tabelle auf Seite 269) „� Intervallgrenzen berechnen: μ – z · σ ≈ 4 – 1,28 · 0,2 ≈ 3,74 μ + z · σ ≈ 4 + 1,28 · 0,2 ≈ 4,26 80% der Durchmesser aller produzierten Kugeln liegen annähernd im Intervall [3,74; 4,26]. μ 80% 0 z –z μ – z· σ μ + z· σ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv