Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

87 5.3 Wahrscheinlichkeiten in Intervallen Ermitteln von Intervallen zu vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten 5.35 Bei einer Serienproduktion von Metallzylindern ist der Durchmesser X annähernd normalverteilt mit den Parametern μ = 3,5 und σ = 0,4 (Angaben in Zentimeter). Welcher Durchmesser c wird von 75% der produzierten Metallzylinder nicht überschritten? Lösung: „� Für c muss gelten: P(X ª c) = 0,75 „� z-Wert zu c ermitteln: Φ (z) = 0,75  w  z ≈ 0,67 (Tabelle auf Seite 269) „� c ermitteln: c = μ + z · σ ≈ 3,5 + 0,67 · 0,4 ≈ 3,8 Der Durchmesser 3,8 cm wird von ca. 75% der produzierten Metallzylinder nicht überschritten. Aufgaben Grundkompetenzen 5.36 Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit μ = 25 und σ = 3,8. Bestimme c näherungsweise so, dass gilt: a) P(X ª c) = 0,25 c) P(X ª c) = 0,95 e) P(X º c) = 0,20 g) P(X º c) = 0,68 b) P(X ª c) = 0,72 d) P(X ª c) = 0,99 f) P(X º c) = 0,40 h) P(X º c) = 0,77 5.37 Die Körpergröße K der Jugendlichen einer Schule ist annähernd normalverteilt mit μ = 158 und σ = 6,5 (Angaben in Zentimeter). 1) Wie viel Prozent der Jugendlichen haben eine Körpergröße von mindestens 170cm? 2) Welche Körpergröße wird von 5% der Jugendlichen nicht überschritten? 3) Welche Körpergröße wird von 5% der Jugendlichen nicht unterschritten? 5.38 Eine Maschine füllt Kaffeepackungen ab, wobei die Abfüllmenge M annähernd normalverteilt mit μ = 1,00 und σ = 0,02 ist (Angaben in Kilogramm). 1) Welche Abfüllmenge c wird von 90% der erzeugten Packungen nicht unterschritten? 2) Beantworte die unter 1) gestellte Frage unter der Annahme, dass sich durch die dauernde Beanspruchung der Maschine der Erwartungswert der Abfüllmenge von μ = 1,00 auf μ = 1,05 (kg) erhöht hat, aber σ gleichgeblieben ist! 5.39 Ein Transportunternehmen nimmt Gepäckstücke bis zu 20kg an. Aufgrund bisheriger Erfahrungen geht das Unternehmen davon aus, dass die Massen der abgegebenen Gepäck- stücke annähernd normalverteilt mit μ = 17kg und σ = 2 kg sind. a) Wie viel Prozent der abgegebenen Gepäckstücke wird das Unternehmen voraussichtlich abweisen müssen? b) Welche maximale Gepäckmasse müsste das Unternehmen tolerieren, damit es nur 1% der abgegebenen Gepäckstücke abweisen müsste? 5.40 Electron erzeugt Kondensatoren, deren Kapazität X annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 200 und der Standardabweichung σ = 25 ist (Angaben in Nanofarad [nF]). 1) Welche Kapazität c wird von 90% der erzeugten Kondensatoren nicht unterschritten? 2) Nach einiger Zeit stellt die Qualitätskontrolle von Electron fest: Der Erwartungswert der Kapazität beträgt nicht mehr 200nF, sondern nur mehr 175nF. Die Standardabweichung misst aber unverändert 25nF. Beantworte die unter 1) gestellte Frage auf Grund des neuen Wertes von μ ! μ 75% 0 z c Ó Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv