Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

85 5.3 Wahrscheinlichkeiten in Intervallen Berechnen von Wahrscheinlichkeiten in symmetrischen Intervallen um μ Satz Ist eine Zufallsvariable X normalverteilt mit den Parametern μ und σ , dann gilt: P( μ – z · σ ª X ª μ + z · σ ) = 2 · Φ (z) – 1 Beweis: P( μ – z · σ ª X ª μ + z · σ ) = Φ (z) – Φ (– z) = Φ (z) – (1 – Φ (z)) = 2 · Φ (z) – 1  5.25 Bei der Produktion von Leiterplatten ist die Plattendicke D annähernd normalverteilt mit μ = 5 und σ = 0,8 (Angaben in Millimeter). Bei wie viel Prozent der produzierten Platten weicht die Dicke um höchstens 1mm von μ ab? Lösung: „� Intervall der maximalen Abweichung anschreiben: D * [4; 6] „� z-Wert der oberen Intervallgrenze ermitteln: z = ​  6 – μ  _σ  ​ = 1,25 „� Wahrscheinlichkeit im Intervall [4; 6] ermitteln: P(4 ª D ª 6) = 2 · Φ (1,25) – 1 ≈ 2 · 0,8944 – 1 = 0,7888 ≈ 0,79 Bei ca. 79% der Platten weicht die Plattendicke um höchstens 1mm von μ ab. 5.26 Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit den Parametern μ und σ . Berechne: 1) P( μ – σ ª X ª μ + σ ) 2) P( μ – 2 σ ª X ª μ + 2 σ ) 3) P( μ – 3 σ ª X ª μ + 3 σ ) Lösung: 1) P( μ – 1 · σ ª X ª μ + 1 · σ ) = 2 · Φ (1) – 1 ≈ 2 · 0,8413 – 1 = 0,6826 2) P( μ – 2 · σ ª X ª μ + 2 · σ ) = 2 · Φ (2) – 1 ≈ 2 · 0,9772 – 1 = 0,9544 3) P( μ – 3 · σ ª X ª μ + 3 · σ ) = 2 · Φ (3) – 1 ≈ 2 · 0,9987 – 1 = 0,9974 Wir halten die Ergebnisse der letzten Aufgabe fest: Satz Ist eine Zufallsvariable X normalverteilt mit den Parametern μ und σ , dann gilt: (1) P( μ – σ ª X ª μ + σ ) ≈ 0,683 = 68,3% (2) P( μ – 2 · σ ª X ª μ + 2 · σ ) ≈ 0,954 = 95,4% (3) P( μ – 3 · σ ª X ª μ + 3 · σ ) ≈ 0,997 = 99,7% Dies kann man so interpretieren: Bestimmt man durch einen Zufallsversuch sehr oft den Wert einer normalverteilten Zufallsvariablen X, dann liegen von den erhaltenen Werten ca. 68,3% ca. 95,4% ca. 99,7% (also praktisch alle) im Intervall [ μ – σ ; μ + σ ] im Intervall [ μ – 2 σ ; μ + 2 σ ] im Intervall [ μ – 3 σ ; μ + 3 σ ] μ 2· Φ (z)–1 0 z –z μ + z· σ μ – z· σ μ = 5 2· Φ (z)–1 0 z –z 6 4 ca. 68,3% 0 1 2 3 z x –1 –2 –3 μ μ + σ μ – σ ca. 95,4% 0 1 2 3 z x –1 –2 –3 μ μ + 2 σ μ – 2 σ ca. 99,7% 0 1 2 3 z x –1 –2 –3 μ μ + 3 σ μ – 3 σ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv