Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

83 Φ (–z) 1 – Φ (z) z –z 0 x 5.3 Wahrscheinlichkeiten in Intervallen Berechnen von Wahrscheinlichkeiten in Intervallen Satz Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit den Parametern μ und σ . Sind x, x 1 , x 2 * R und z =   x – μ  _σ  , z 1 =   x 1 – μ  _σ  , z 2 =   x 2 – μ  _σ  die dazugehörigen z-Werte, dann gilt: (1) P(X ª x) = Φ (z) (2) P(X º x) = 1 – Φ (z) = Φ (– z) (3) P(x 1 ª X ª x 2 ) = Φ (z 2 ) – Φ (z 1 ) Beweis: (1) Wurde schon im vorigen Abschnitt bewiesen: P(X ª x) = Φ 2    x – μ  _σ    3 = Φ (z) (2) Das Ereignis X º x ist das Gegenereignis des Ereignisses X < x. Somit gilt: P(X º x) = 1 – P(X < x) = 1 – P(X ª x) = 1 – Φ (z) = Φ (– z) Letzteres folgt aus der Symmetrie der Gauß’schen Glockenkurve und der Tatsache, dass der Gesamtflächeninhalt unter dieser Kurve gleich 1 ist. (3) P(x 1 ª X ª x 2 ) = P(X ª x 2 ) – P(X < x 1 ) = P(X ª x 2 ) – P(X ª x 1 ) = Φ (z 2 ) – Φ (z 1 )  5.16 Bei einer Serienproduktion von Metallröhren sei der Röhrendurchmesser X annähernd normalverteilt mit den Parametern μ = 3,5 und σ = 0,4 (Angaben in Zentimeter). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Durchmesser einer zufällig entnommenen Röhre 1) höchstens 3,4 beträgt, 2) mindestens 3,7 beträgt, 3) mindestens 3,4 und höchstens 3,7 beträgt? Lösung: 1) P(X ª 3,4) = Φ 2    3,4 – 3,5 __ 0,4    3 = Φ (– 0,25) ≈ 0,4013 2) P(X º 3,7) = Φ 2  –   3,7 – 3,5 __ 0,4    3 = Φ (– 0,5) ≈ 0,3085 3) P(3,4 ª X ª 3,7) = Φ 2    3,7 – 3,5 __ 0,4    3 – Φ 2    3,4 – 3,5 __ 0,4    3 = Φ (0,5) – Φ (– 0,25) ≈ 0,6915 – 0,4013 = 0,2902 Aufgaben Grundkompetenzen 5.17 Die Firma Nagel &Co fertigt Nägel an, deren Länge S annähernd normalverteilt mit μ = 20 und σ = 1,2 ist (Angaben in Millimeter). Berechne: a) P(S ª 19) d) P(18 ª S ª 21) b) P(S º 22) e) P(19,5 ª S ª 20,2) c) P(S = 20) f) P(19,5 ª S ª 20) x Φ (z) z Φ (– z) 1 – Φ (z) z – z 0 x Φ (z 2 ) – Φ (z 1 ) z 2 z 1 x 1 x 2 Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv