Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

82 5 Die Normalverteilung 5.07 Eine Zufallsvariable X sei normalverteilt mit den Parametern μ = 6 und σ = 2. Kreuze an, was zutrifft bzw. nicht zutrifft! trifft zu trifft nicht zu P(X º 5) < 0,5   P(X ª 6) ≠ 0,5   P(X ª 8) > 0,5   P( μ – σ ª X ª μ + σ ) = 1   P(X > 8) = P(X < 4)   P(X ª 5) = P(X > 6)   5.08 Eine Zufallsvariable X sei normalverteilt mit μ = 60 und σ = 3. Gib zwei verschiedene Zahlen a, b * R an, sodass: a) P(X < a) > P(x > b) b) P(X = a) = P(X = b) c) P(X < a) > P(x < b) 5.09 Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit den Parametern μ und σ . Berechne: a) P(X ª μ + 2 · σ ) b) P(X ª μ – σ ) c) P(X ª μ + σ ) d) P(X ª μ – 0,5 · σ ) 5.10 Eine Zufallsvariable sei normalverteilt mit den Parametern μ = 5 und σ = 1,6. Berechne: a) P(X ª 3) b) P(X ª 5) c) P(X ª 5,5) d) P(X ª 7,5) 5.11 Eine Zufallsvariable sei normalverteilt mit den Parametern μ = 10 und σ = 2. Berechne: a) P(X ª 2) b) P(X ª 4,8) c) P(X ª 10,9) d) P(X ª 13,1) 5.12 Eine Zufallsvariable sei normalverteilt mit den Parametern μ = 135 und σ = 25. Berechne: a) P(X ª 100) b) P(X ª 120) c) P(X ª 150) d) P(X ª 180) 5.13 Eine Maschine füllt Flaschen mit Haushaltsreininger ab. Der Flascheninhalt ist annähernd normalverteilt mit μ = 0,3 und σ = 0,002 (Angaben in Liter). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Flasche höchstens 0,296 ® enthält? Aufgaben Vertiefung 5.14 Zeige durch eine Funktionsuntersuchung mit Differentialrechnung: Die Dichtefunktion f einer Normalverteilung mit den Parametern μ und σ a) besitzt die globale Maximumstelle μ , b) ist in ]– • ; μ ] streng monoton steigend und in [ μ ; • [ streng monoton fallend, c) besitzt die Wendestellen μ – σ und μ + σ , d) ist in ]– • ; μ – σ ] linksgekrümmt, in [ μ – σ ; μ + σ ] rechtsgekrümmt und in [ μ + σ ; • [ linksgekrümmt, e) besitzt keine Nullstelle. 5.15 Eine Maschine produziert Bleistiftminen. Man kann annehmen, dass der Minendurchmesser X annähernd normalverteilt mit den Parametern μ und σ ist. 1) Formuliere umgangssprachlich, was die Wahrscheinlichkeit P(X ª μ + z · σ ) für ein konstantes z * R bzw. die Wahrscheinlichkeit P(X ª c) für ein konstantes c * R angibt! 2) Im Lauf der Zeit muss man damit rechnen, dass sich μ und σ durch die Abnutzung der Maschine ändern. Ändert sich dadurch auch die Wahrscheinlichkeit P(X ª μ + z · σ ) für ein konstantes z * R bzw. die Wahrscheinlichkeit P(X ª c) für ein konstantes c * R ? Begründe! Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv