Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

80 5 Die Normalverteilung Wir bezeichnen die ursprüngliche Skala der Werte der Zufallsvariablen als x-Skala und die neue Skala als z-Skala (siehe die folgenden Abbildungen). � Jedem Wert z auf der z-Skala entspricht der Wert x = μ + z · σ auf der x-Skala. Umgekehrt entspricht jedem Wert x = μ + z · σ auf der x-Skala der Wert z = ​  x – μ  _σ  ​ auf der z-Skala. Merke Zusammenhang zwischen x und z: x = μ + z · σ  bzw.  z = ​  x – μ _  σ  ​ Legt man die z-Skala zugrunde, so besitzt die Normalverteilung die Parameter μ = 0 und σ = 1 . Diese Verteilung heißt Standardnormalverteilung . Den Übergang von der Normalverteilung mit beliebigen Parametern μ und σ zur Normalverteilung mit den Parametern μ = 0 und σ = 1 bezeichnet man als Standardisieren . „� Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung bezeichnen wir mit φ . Ihr Graph heißt Standardglockenkurve . Eine Termdarstellung für φ erhält man durch Einsetzen von μ = 0 und σ = 1 in die auf der vorigen Seite angegebene allgemeine Termdarstellung der Dichtefunktion f: Dichtefunktion der Standardnormalverteilung: φ (z) = ​  1 _  ​ 9 __ 2 π​ ​ · ​e​ –​ ​z​ 2 ​  _ 2 ​ ​ „� Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung wird mit Φ bezeichnet. Der Wert Φ (z) gibt die Wahrscheinlichkeit P(X ª μ + z · σ ) an. Dieser entspricht dem Inhalt der von der Dichtefunktion φ im Intervall ]– • ; z] festgelegten Fläche (in der obigen Abbildung grün unterlegt). Somit gilt: Satz Ist die Zufallsvariable X normalverteilt mit den Parametern μ und σ , dann gilt: P(X ª μ + z · σ ) = Φ (z)  bzw.  P(X ª x) = Φ ​ 2  ​  x – μ _  σ  ​  3 ​ Die Werte Φ (z) für verschiedene z = ​  x – μ  _σ  ​ kann man der Tabelle auf Seite 269 entnehmen. Auch auf manchen Taschenrechnern lässt sich Φ (z) berechnen. 5.05 Eine Zufallsvariable X sei normalverteilt mit den Parametern μ = 3,5 und σ = 0,4. Berechne P(X ª 4)! Lösung: P(X ª 4) = Φ​ 2  ​  4 – μ  _σ  ​  3 ​ = Φ ​ 2  ​  4 – 3,5 _ 0,4  ​  3 ​= Φ (1,25) ≈ 0,8944 μ μ  – σ μ  – 2 σ μ  + σ μ  + 2 σ x-Skala 0 z-Skala 1 –1 –2 2 μ μ  + z · σ x-Skala 0 z-Skala z μ x = μ  + z · σ φ Φ (z) x-Skala 0 z-Skala z Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv